CHAPITRE \\. — LRS NOMBRES PREMIERS
ntiméraleur est égal à
P P^ P^ Mius, par déGnition,
el, par suite,
E-H^E^-T-E-^-hE-ï-r...:
pr- p'
par conséquent, l'exposant d'un facteur premier quelconque/? du dénominateur de l'expression (|i) ne surpasse jamais l'exposant du numérateur.
En parlicu-lier, le produit de n entiers consécutifs est toujours divisible par le produit // ! des n premiers nombres, puisque l'on a
i a -^ i ) { a -^ o. ) . . .1 rr ~ir- n ) in -h n)l 1 . 2 . . . . /^ €i\ n\
Exemple /. — Déterminer le plus grand exposant de la puissance d'un nombre premier p contenu dans le produit des coefficients de la puissance d'un binôme.
Exemple II. — Trouver la somme des enliers par/? de/> termes consécutifs d'une progression arithmétique.
Exemple ///. — Si n = pq , le produit /* ! est divisible \idiT p\{q\)P cl aussi, en raison de la symétrie, par q\(p\yi' En effet, l'expression
est le produit de;^ nombres combinatoires
mais on a évidemment (1*011 Ton déduit
lo\)P ""' ^Pl-i ^(/'- 1)7-1 • • • ^î'/-l W-i*
Exemple IV. — Si l'on a /i = a -h 8 -\- pq -+- rs, le produit /*! est divisible par
20o. Théorèmes de Tchebychef et de Polignac. — Soit n un nombre positif, entier ou fractionnaire; nous appellerons /bc/orielle primaire d^ordre y, du nombre /i, le produit de tous les nombres premiers dont la puissance (f^^^ ne surpasse pas /z, et nous désignerons ce produit par 0^(n); en particulier, la factoriclle primaire du premier ordre de n est égale au produit de tous les nombres premiers qui ne surpassent pas n. Par convention, nous écrirons
0,,(/i) — I, si /* C 2^.
Cela posé, on a le théorème suivant : Le produit des factorielles primaires, de tous les ordres, pour tous les nombres
est égal au produit des n premiers nombres. En d^autres termes, la factoricUc n\ est égale au produit des factorielles primaires
Oi(/i), o.^^j, e,(^), ....
eî(/n, ^A'^)^ o,(^j, ....
^Anu Oaf^), 03(^). ...,
d'ailleurs, on s'arrête dans chaque ligne et dans chaque colonne du Tableau précédent, lorsque la facloriclle primaire devient égale à i .
En cficl, chacune des factorielles primaires ne renferme un nombre j)remier p qu'une seule fols ; cherchons l'exposant // de p dans la q^*^^^ ligne du Tableau
on aura, par dclinition.
CIIAPITRK XX. — LES NOMRnES PREMIERS. 307
et, par suite.
c'est-à-dire
pi
Par conséquent, en faisant la somme des exposants de p dans chaque ligne du Tableau précédent, on trouve
ce qui est précisément Tcxposant de p dans le produit ni des n premiers nombres. c. q. f. d.
Si l'on pose
^(n) = Oi ( w I. O2 («)• 03(71). 64 (/i)... . le théorème précédent peut s'écrire sous la formt»
Au moyen de cette formule, et en parlant de deux limites du produit ni, que l'on déduit de la formule de Stiuling, M. Tcheby- CHEF a démontré le théorème suivant, l'un des plus beaux de l'Arithmétique transcendante ( ' ) : Pour 2 6r >> ^, il y a au moins un nombre premier compris entre a et [ia — 2).
Comme corollaire, on a la proposition suivante {Journal de Lioui^ille, a* série, t. Il ) :
Le produit des n premiers entiers ne peut être égal à une puissance d\in nombre entier, ou au produit de puissances de nombres entiers. En effet, il y a au moins un nombre premier (|ui n'entre qu'une seule fois comme facteur dans le produit des // premiers nombres.
(') Ce théorème a été présenté en i85o à l'Académie des Sciences de Saini Pétersbourg. — Voir Journal de Liouvillcy t. WII, le tome II du Cours d* Algèbre supérieure de Serukt, et divers Mémoires de A. de Poliqnac, dans les Comptes rendus de l* Académie des Sciences de Paris.
3C8 LIVHIC m. — l.\ DIVISIRII.I TK ARITIiy KTU>tIK.
