Codiviseurs et comultiples des nombres décomposés
Nous reprendrons les problèmes que nous avons résolus pour la recherche des codiviseurs et des comultiples de plusieurs nombres, en supposant que les nombres sont décomposés. Cherchons d^abord le plus grand codiviseur de plusieurs nombres; pour cela, on considère tous les nombres premiers différents qui se trouvent dans les décompositions des nombres donnés, et Ton supprime tous ceux qui ne se trouvent point comme facteurs dans tous les nombres donnés; après cette opération, s'il ne reste aucun facteur premier, les nombres n'ont aucun codiviseur. Dans le cas contraire, soit a un nombre premier contenu dans chacun des nombres donnés ; désignons par t! l'exposant choisi parmi tous les exposants de a, de telle sorte qu'il n'y en ait pas de plus petit; soient P', y', ... les exposants de fc , c , . . . , choisis de la même manière; le plus grand codiviseur cherché est
En effet, pour qu'un nombre soit divisible par un autre, il faut et il suffit que le premier contienne tous les facteurs du second avec des exposants au moins égaux à ceux qu'ils ont dans le second des nombres donnés.
On détermine d'une façon analogue le plus petit comultiple de plusieurs nombres décomposés. On prend chacun des facteurs premiers qui entrent dans l'un quelconque des nombres donnés avec un exposant égal à celui dont il est affecté dans le nombre qui le contient avec le plus grand exposant.
flIlAPITRE XXI. — DIVISKVRS DES NOMBRES. 3(>()
Exemple I. — Si un nombre est une puissance d'exposant n, les exposants des facteurs premiers qu'il contient sont des multiples de n, et réciproquement.
Exemple II. — Si le produit de plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux est une puissance, chacun d'eux est une puissance de même exposant.
Exemple III. — Si le produit de plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux est le double, le triple, le quadruple, le quintuple d'une puissance, l'un des facteurs est le double, le triple, le quadruple, le quintuple d^une puissance de même exposant, et les autres facteurs sont des puissances de même exposant.
Si le produit est une puissance multipliée par un nombre A contenant plusieurs facteurs premiers différents, la décomposition peut se faire de diverses manières. Ainsi, par exemple, si le produit de plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux est le sextuple d'un carré, l'un des facteurs est le sextuple d'un carré et les autres sont des carrés; ou bien, Tun est le double d'un carré, un autre le triple d'un carré, et les autres sont des carrés.
Exemple IV. — Si l'on désigne par Pi le produit de n nombres entiers,
par P] le produit des plus grands codiviseurs de tous ces nombres pris
deux à deux, par P3 le produit des plus grands codiviseurs de tous ces
nombres pris trois à trois, . . . , par P„ le plus grand codiviseur de tous
ces nombres, le plus petit comultiple m des n nombres donnés a pour
expression
Pj PsPr ...
P2PvP6 • • •
Soit p un diviseur premier des nombres donnés aj b, Cj . . .j l ; désignons par a, p, Y, . . . , X les exposants positifs ou nuls des puissances de/> contenues dans ces nombres, et par e,. l'exposant de p dans P;.; si l'on suppose les nombres donnés rangés de telle sorte que les exposants a, p, y, . . . ,X ne soient pas croissants, on voit que l'exposant er de/? dans chacun des produits Pr est
ei=a-^p-i- Y-+- ^-t- £-f-....
ej= P-+- 2Y-H 35-+-4SH
63= Y-i-38-f-Ge-:..,
ev=-= t -\- ^t~^ . . . .
Cj — e -4 . . . ,
Par conséquent, l'exposant de p dans la valeur de //i, fournie par renoncé, est
ei — ^1 H- ^3 — ^* -r- ^s — • • • ' E. L. — I. 24
370 LIVRE III. - LA Di%'ISIBILrTK A H I TH 11 ÉTIQUE.
et, puisque la «omme alternée des coefûcieots du binùme est nulle, l'eiposaot de/> dans m e«t égal à z.
Exemple V. — Mettre les nombres a et b sous les formes
a -- ciia^, b =^ ^i^ir
ai et bi n'ayant que des facteurs premiers diviseurs de a et de 6. et de plus a] étant premier à ^ et 6] premier à a.
En supposant les nombres a et b décomposés en leurs facteurs premiers, la solution est immédiate ; mais on peut encore résoudre le problème sans connaître les décompositions de a et 6 en facteurs, par des opérations de plus grand codiviseur. Désignons par a et b' les quotients, premiers entre eux, de a et de 6 par leur plus grand codi%'iseur D: par a' le quotient de a' par le plus grand codiviseur Ai de a' et de D; par oT le quotient de a' par le plus grand codiviseur A] de a et de A], et ainsi de suite, et de même pour b. On a, en supposant A)= 1 et B)S= 1,
a= a^D. Al. A5.
b ■=■ 6". D. Bi , Bj.
Exemple VJ. - S'il existe des nombres entiers x, y, z qui vérifient l'équation
(i) xP — yP-T-zP = o^
où l'on suppose/) premier impair, et x^y, z premiers entre eux deux à deux, aucun des nombres x,y, z ne peut être premier ou égal à une puissance quelconque d'un nombre premier.
On a deux cas à considérer, suivant que le produit xyz est ou n*est pas divisible par/>. Lorsque le produit xyz n'est pas divisible par/?, on pose. d'après V Exemple IV à\x n*» 192,
y -X- z — ai\ z-r-x = bPj x -^ y = cP
et
yP-^zp zp-^xp ^ xP-j- yP
* -^- OLP, = ?P, '-^ = Y/» ;
y-t-z z -+• X *^ x-hy '
alors, on a
et les nombres a et a sont premiers entre eux, ainsi que b et p, et que c et Y- On en déduit
ix = bP -\- cP — aPj
iy = cP -\- aP — bP^
iz = aP-h bP — cP.
