CHAPITRE X\l. — DIVISEURS DES NOMBRES
Si l'un des nombres x, y, z est divi*jible par p, on peut supposer que z est divisible par p^ et non par une puissance de p de plus grand tuposant ; on trouve
et
y -^ z = aPj z -r~ X = bP, x -\-y = p'^P-^ cp
yp -j- zP zP -h tp ^ xP -h yP
y-1-z Z--.-X Jc-x-y
alors on a
X — — rtûT, y- — 6p, 5 = — p^c^(, et, par suite,
IX = p'>'P-^cP— aP-^bPf
2y =p'^P-^cP-T-aP—bP,
— iz —p'^P-^cP — aP — bP.
Les formules précédentes ont été données par Legendre, dans le but de parvenir à la démonstration du fameux théorème de Fermât, concernant l'impossibilité de résoudre l'équation (i) en nombres entiers. On trouve les mêmes formules dans la lettre d'AsEL à Holmroe, du 24 juin 1828 ( Arel, Œuvres complètes, 2* édition, t. 11, p. 264 et 265).
Exemple VU. — Trouver Texposant de la plus haute puissance d'un nombre n qui divise le produit des M premiers nombres.
Exemple VIII. — Trouver l'exposant de la plus haute puissance d'un nombre n qui divise le produit des M premiers termes d'une progression arithmétique.
207. Nombre y somme et produit des diviseurs d'un nombre décomposé. — Soit le nombre
tout diviseur de /i a pour expres!«on
d^a^'b^'cr .,., en supposant
a' égal à l'un des (a -i- 1 ) nombres o. 1 , 2. . . . , a , P' » » (P-T-M 0,1,2,..., 3, y' » » ("Y "^ ' ' " o. I, 2 Yî
371 LIVHK III. LA IMVISIRIl.ITK A R ITIIM KTIQCK.
divisé par chacun des entiers qui le précèdent, et d'/i ) la somme des diviseurs de n, on a la formule
En effet, soit a un entier plus petit que n et r^, r^ les restes de la division de /i et de (fi — i) par a. Si a n*est pas un diviseur de n, on a
t't si 3 est un diviseur de n, on a ra— o, par suite
r'gj = Ta - - I -+- a.
Si l'on donne à a les valeurs i, •!, . . . f n — i), cl si Ton fait la somme, en observant que rn^i — i, on obtient la formule demandée.
Si dans la formule ( i ) on remplace n par i, 2, 3, n, et si Ton fait la
somme des égalités obtenues, on trouve
5'(i )-4- s'fa) -1- 3'( 3 I ■ . . . -f-G'(w I - n- -S{n k
208. Nombres parfaits. -- On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses parties aliquotcs. Euclide a indiqué la seule méthode actuellement connue pour trouver des nombres parfaits (/v/r. 1A\ Prop, 36 ). Soit le nombre
dans lequel b désigne un nombre premier; en égalant à 2/1 la î^ommedes diviseurs de w, on trouve
Par suite , on obtient des nombres parfaits au moyen de la formule
mais seulement dans le cas où le second facteur est premier.
Pour que [^iP — i) soit premier, il faut que Texposant p le soit
aussi, car le binôme (iP^ — 1) est divisible par (2'' — i) et par
(2^ — I ); mais, d'autre part, cette condition, qui est nécessaire, n'est
pas suffisante, puisque
Le Tableau suivant contient toutes les valeurs aclueliemenl connues du nombre premier/? jusqu'à 267, pour lesquelles {^P — i)
