CHAPITRE XXI

divisei:rs dks nombres.

est un nombre composé ; la colonne d désigne le plus petit diviseur de ces nombres. Les résultats qui correspondent aux quatre premières valeurs de p étaient connus de Fermât ; le facteur d p()ury?==4ï a été donné par Plana; les quatre suivants ont été donnés par Landry et les autres par M. Le Lasseur- On les vérifie rapidement en calculant par congruences (n" 31 ).

ii4i7

i ii3

On ne connaît aucun nombre parfait impair; mais on peut démontrer qu'iY n existe pas d'autres nombres parfaits pairs que ceux qui sont renfermés dans la formule d' Euclide (i).

En effet, soit

n — 2«^Pcï.

si n est un nombre parfait, on aura

ou bien

#ft V . b?cy...

. -^ 6?)(i -4- c -4- . . . T- cT)

Mais le second membre étant entier, il en est de même du premier membre, dont le second terme prend la forme b^c^'

Par conséquent, le nombre des termes du second membre

doit se réduire à deux, comme le premier; ainsi, p=:ri,Y = o, 0 = 0, . . ., et l'on trouve n = 2*6.

Les nombres parfaits actuellement connus correspondent à la formule

3;6 I.IVRK 111. — LA I)1VI.S1BILITK A R ITliM KTIQL K.

ftour les valeurs de p

2, 3, 5. 7, \'\. 17, u), 3i. Gi.

LV'tude (les nombres parfaits semble archaïque, comme celle des nombres aliquotaires et des nombres amiables, dont nous parlons plus loin. Mai^ on ne doit pas oublier qu'elle a donné naissance aux principaux travaux de Fermât et, par suite, à TArithmétique supérieure. Au sujet des nombre^ parfaits impairs, Desgartks écrivait à Frénicle, le ao décembre i638 : « ... et je ne sais pourquoi vous jugez qu'on ne saurait parvenir par ce moyen à l'invention d'un vrai nombre parfait ; que si vous avez une démonstration, j'avoue qu'elle est au delà de ma portée et que je l'estime extrêmement; car, pour moi, je juge qu'on peut trouver des nombres impairs véritablement parfaits. » (Voir n* 2i9, Ex. V et M.)

11 reste donc à étudier la nature des nombres (a'' — 1) pour les valeurs

C7» 7«» 89, loi, io3, 107, 109, 127, 137, 139, 149, 157, i63, 167, 173, 181, 193, 197, i()9, 227, 229, 241, 207;

cependant, nous pensons avoir démontré par de très longs calculs qu'il n'existe pas de nombres parfaits pour/> = 6^ et/> := 89.

Dans la Préface des Cogitata physico-mathematica (Paris. i644)î Mersen^ie affirme que les nombres parfaits correspondent, en dehors des valeurs précédentes, à/> = 6^, 12^, 25^,et qu'il n'en existe pas d'autres pour /> <C 207 ; cependant, il ne donne pas la valeur y> = 61 . Quoi qu'il en soit, il résulte, de ce curieux passage, ([ue Mersekke était en possession d'une méthode importante dans la théorie des nombres premiers; mais cette méthode ne nous est pas parvenue.

Après avoir traité des nombres aliquotaires et des nombres amiables. Mersenne ajoute :

G ULi fuerit opéra; pretium advertere XXVIII numéros a Petro Bungo pro perfectis exhibitos, capite XXVllI, libri de Numéris, non esse omnes perfeclos, quippe 20 sunt imperfecli, adeunt solos octo perfectos liabcat. videlicct

8ivi8,

335 Jo336,

23o5 843oo 81399 J2128,

cil \ PI tri: \\i. - divisi:i:rs m: s nombrks. ^îtj

qui sunl è rcgione tabula; Bungi i, •!, 3, 4> ^y lo, ri et 29; quique soli perfccti sunt, ut qui Bungum habuerint, errori medicinam faciant.

w Porrô numeri perfecti adeo rari sunt, ut uudecim dumtaxat potueriiit liactenus inveniri; hoc est, alii très a Bungianis dilTcrentes : neque cniiii ullus est alius perfectus ab illis octo, nisi superes exponentem numcrum 6*^. progressionis duplœ ab i incipientis. — Nonus cnim perfectus est potestas exponenlis 68 minus i. — Decimus, potestas exponcnlis 128, minus 1. — Undecimus denique, potestas a58, minus i, hoc est potestas 257, unitate decurtata, multiplicata per potestatem 256.

» Qui undecim alios rcpercrit, noverit se analysim omnem, quœ fuerit hactenus, superasse : mcminoritque interca nullum esse perfectum à 17000 potestate ad 82000; et nullum potestaium intervallum tantum, assignari posse, quin detur illud absque perfectis. Verbi gratia, si fuerit exponens I oSoooo, nullus erit, numcrus progressionis dupla} usque ad 2090000, qui perfectis numeris serviat, hoc est qui minor unitate, primus exstat.

» Unde clarum est quàm rari sint perfecti numeri, et quàm merito viris perfectis comparentur; esseque unam ex maximis totius Matheseos diflicultatibus, prœscriptam numerorum perfcctorum multitudinum exhiberc; quemadmodum et agnoscere num dati numeri i5, aut 20 caracteribus constantes, sint primi necne, cùm nequidem saîculum integrum huic examini, quocumque modo hactenus cognilo, sufficiat. »

209. Tables de la somme des diviseurs. — Eller a donné une Table de la somme des diviseurs des premiers nombres (*). En désignant la somme des diviseurs de ai par ^{n), on a, suivant une remarque de Descautes, pour des entiers a^b^c. ..., premiers entre eux deux à deux,

en désignant le nombre des diviseurs de n par v (/^), on a aussi, dans les mêmes conditions,

'^(abc. ..) — v(a).v(^).v(c.i. . ..

La Table d'EuLEii donne <^{ci)^ (3'(a^), 3'(a' . ... pour tous les nombres premiers jusqu'à 1000, et les sommes a' sont décomposées en leurs facteurs premiers. En outre, elle contient, pour les plus petites valeurs de a^ les sommes a'(a'*) pour de plus grandes valeurs de a et ainsi pour a = 2, jusqu'à a ^= 36. Ainsi ces Tables

(') KcLKii, Op. /Iritk. Coll., I, p. 101-109 cl * 17

i-jH LIVBE III. LA DIVISIBILITÉ A R ITIlMfi TI(>L' E.

donnent, pour diverses valeurs de a et de a, les décompositions en facteurs premiers de nombres appartenant à la forme (a^ — i).

Dans l'opuscule Observatio de summis diçisorum, qui contient des recherches très intéressantes sur la partition des nombres, Ei'LF.n donne encore le Tableau de la somme des diviseurs des cent premiers nombres.

Ces Tables ont été étendues par Reuschle et surtout par Landry qui a donné toutes les décompositions de(2«±: i), jusqu'à a ^64. en exceptant le seul nombre (2*' -f- i). Depuis, M. Le Lasseur a appliqué une nouvelle méthode de décomposition des grands nombres en facteurs premiers, dont on retrouve l'origine dans la correspondance de Fermât. En se ser\'ant de l'identité d'AuRiFEuiLLE

il a reculé considérablement les limites des Tables précédentes.

210. Nombres aliqnotaires. — On appelle nombres aliquotaires les entiers qui ont un rapport simple avec la somme de leurs parties aliquotes (n** lo). Autrefois, on appelait nombre abondant un entier plus petit que la somme de ses parties aliquotes, et nombre déficient un entier plus grand que cette somme.

Supposons que Ton veuille trouver des entiers qui soient sousdoubles de la somme de leurs parties aliquotes, c'est-à-dire tels que l'on ait

si l'on prend pour n la valeur n = i^bcd, . ., dans laquelle 6, c, d, . . . sont des nombres premiers impairs, inégaux deux à deux, on devra poser

( 22t+i — i)(^-hi)(c-Hi;(c^-hiL.. = 3. l'^bcd

Cette équation est impossible pour a - - i , car on en conclurait

( è -4- I ) ( c -!- I ) ( c? -T- I • . . . =2 bcd. . . :

et, puisque b^ c^ d, ... sont impairs, le nombre des facteurs, premiers et impairs, de n se réduirait à un seul, 6, d'où l'on tirerait h =:z i . De même pour a = 9., on aurait

y ( b -{- \) { c -h i) (d -•- i) . . . — \ibcd. . . ;