CHAPITRE XXI. — DIVISEl RS DES NOMBRES

donc, en supposant b = y, l'équation serait impossible par congruence pour le module 8.

En supposant a = 3, on aura

d'où 6 = 5, c = 3 ; alors n ne peut contenir plus de deux facteurs premiers et impairs et l'on a

En supposant a = 4? on est conduit à une impossibilité de con-

gruence suivant le module 32 ; mais pour ol^-- 5, on trouve Tunique

solution

n = a'.3.7 = ôju.

Les hypothèses a =:-: 6 et a = 7 conduisent à des impossibilités

par congruences suivant le module a*"*"* ; mais, pour a == 8, on

trouve

En poursuivant cette recherche, on trouve les nombres suivants qui sont sous-doubles de leurs parties aliquotes

lîi;.

Ces nombres se trouvent dans les écrits de Descautes et de Fermat, et, puisqu'on n'y en rencontre pas d'autres, il est probable que leur méthode de recherche ne différait pas de celle que nous venons d'exposer.

Pour trouver des nombres sous-triples de leurs parties aliquotes, on peut employer l'une des propositions suivantes, faciles à démontrer :

I. Si un nombre est un sous-double et n'est pas divisible par 3, son triple est un sous-triple.

II. Si un sous-double est divisible par 3, sans l'élre par 5 et par 9, le produit du sous-double par 4^^ est un sous-triple.

",Xi* I.IVRK li:. L\ l)I\ ISMIlLITi: \ritii3ii:tiol !::•

III. Si un sou:)-Joulilc est divisible par 3, sans l'élre par ^. {) cl I.'», son produit par 3.7. i3 est un sous-triple.

Ainsi, on trouve en j)articulier les sous-triples 2*. 3*. 5.- = 3o'>.i«i el •2'.3*.5.7. i3 = 3*2760, qui ont été donnés par Descàrtes.

Exemple I. — Vérifîer que les deu\ nombres suivants, qui ont été indiqués par FeRM.4T. ««ont des sous-quadrupIe<(

'1' .3^.5 . 7 .11*. 17. i»j, a''.3'».5 . 7'.ii*.i9.2J. 89, 2*'.''> .7'.r5 . 19'. 37. 73. 127.

Exempte II. — Vérifier que les deux nombres suivants, qui ont été indiqués par FKi(]aAT, «ont des sous-quintuples

2". 3". 5*. 7^ Il i3*.i7'.3i . l'i.Gi .241.307.4C7.2801, 2*". 3*. 5*. 7 .11. ri'. 19 .29.31.43. 61.113.127.

Exemple III. — \'érifîer que les sommes des diviseurs des cubes de 7 ei de 7 H 53o sont des carres parfaits.

Exemple IV. — Trouver dos nombres qui surpassent de deux unités lu somme de leurs parties aliquotes.

Si (2'*-hi) est premier, ce qui nécessite que n soit une puissance de 2,1»* nombre

possède la propriété énoncée, et ainsi, par exemple, pour n = 2, 4, 8, iG.

Exemple V. — Démontrer que le plus petit nombre abondant et impair est 3'. 5.79.

211. Nombres amiables. — On appelle ainsi un groupe de deux nombres tels que chacun d'eux soit égal à la somme des parties aliquotes de l'autre, de telle sorte que û p ai q désignent ces deux nombres on a

cr(//j :.- 3'(7 j — /> -^- 7.

Pour trouver des couples de nombres amiables, on peut supposei-

p z= ±nfj^ q — 'i.^bc,

(i^ b, c, étant premiers im{)airs; par suite,