CHAPITRE XXI
d'où Ton tire
DIVISEURS DES NOAIBRES.
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et, eu éliminant a,
Donc, pour a <; /i, on en déduit
avec les conditions que a, 6, c soient des nombres premiers ; par suite, a est impair, sans cela a serait composé.
Pour a = I , on trouve une première forme dénombres amiables, en supposant
Si Ton donne à n les valeurs successives 2, 3, 4, . .., en ne conservant que celles pour lesquelles a, 6, c sont premiers, il reste les trois solutions
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M. Le Lasseur a constaté qu'il n'existe pas d'autres couples de nombres amiables de cette forme pour ai<^ 35.
On ne peut supposer a = 3; car, dans ce cas, l'un des nombres ^ ou c serait une différence de deux carrés ; il reste à étudier les cas de a= 5, 7, . . ., ce qui paraît assez difficile.
EuLER a donné une table de 61 couples de nombres amiables; n )us citerons, en particulier, les deux nombres impairs
3*. 7*. i3. 19.53.6959 et 3*. 7*. i3. 19. 179.2087.
382 LIVnK III. — LA UIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
âl2. Ordre et genre des nombres composés. — Nous dirons que l'orclre d'un nombre composé est égal à la somme des exposants des fadeurs premiers (|u'il conlient; ainsi i est de l'ordre o; tout nombre premier est de Tordre i ; le produit de deux nombres premiers égaux ou inégaux est de l'ordre a, et ainsi de suite. On peut d'ailleurs généraliser cette notion et remplacer les nombres premiers par un système quelconque d'entiers premiers deux à deux, en nombre limité ou illimité. 11 est d'ailleurs évident que l'ordre d'un produit est égal à la somme des ordres des facteurs.
On peut se borner à ranger les nombres en deux groupes, et nous dirons (ju'un nombre est du genre o ou du genre i, suivant que son ordre est pair ou impair; ainsi, le genre d'un nombre quelconque s'obtient en prenant le reste du nombre qui repré- , sente l'ordre par le module a. On comprend que l'on pourrait ranger les nombres en 3, 4» ••• groupes, en prenant les restes de l'ordre suivant le module 3,4, — Mais, pour ce qui va suivre, nous nous bornerons à la répartition des nombres en deux groupes.
Soit un polynôme
ai
composé de (a H- 1 1 termes quelconques, positifs ou négatifs, mais non nuls; désignons par posA la somme des termes positifs et par négA, la somme des termes négatifs, pris en valeur absolue, on a évidemment
pos A -T- négA — \.
Considérons un second polynôme
B = 6o -^ 6| -T- 6j -T- . . . -H 6p, nous aurons, avec des notations analogues,
posB -+- négB = B;
faisons le produit du polynôme A par les termes successifs du pol}iiôme B, nous obtenons un polynôme contenant des termes tous dissemblables, en nombre (a -h i) (^ -f i : : désignons par pos AB et négAB les sommes des termes positifs et des termes négatifs
CUAPITUË XXI. — UIVISKURS DES NOMBRES. 383
du produit A6, on trouve facilement, par la règle des signes, les formules ( * )
pos AB = posA posB -+- négA négB, négAB = posA négB ■+■ négA posB.
On a donc l'identité (2) (I) posAB ■+- s négAB = (posA h- enégA)(posB h- e négB;,
dans laquelle on remplace, dans le second membre développé, e^ par i, en égalant ensuite les coefficients de e et les termes qui ne le contiennent pas. Il est facile d'étendre celte formule à un nombre quelconque de polynômes A, B, C, . . . . Si l'on remplacée par I, le premier membre et chacun des facteurs du second membre de l'identité (i) représentent les sommes des termes du produit ABC. . . et de chacun des facteurs; si l'on remplace e par — I , le premier membre et les facteurs du second représentent, pour chacun, la somme des termes positifs, diminuée de celle des termes négatifs. En particulier, si l'un des facteurs est nul, il en est de même du produit.
Au lieu de supposer que pos A et négA représentent la somme des termes positifs et celle des termes négatifs, pris en valeur absolue, on peut supposer que ces symboles représentent respectivement le nombre des termes positifs et celui des termes négatifs: l'identité (1) subsiste encore. Si l'on remplace e par i, le premier membre et chacun des facteurs du second représentent les nombres des termes du produit et de chacun des facteurs ; si l'on remplace e par — i , le premier membre et les facteurs du second représentent, pour chacun, le nombre des termes positifs, diminué du nombre des termes négatifs. En particulier, si l'un des facteurs a un nombre égal de termes positifs et de termes négatifs, il en est de même du produit. Ce cas se présente pour les polynômes alternés d'indice a impair; mais, si tous les polynômes alternés sont d'indice pair, le nombre des termes positifs, diminué du nombre des termes négatifs, est égal à -f- 1 ou à — i , suivant que le premier coefficient «o? ^o? ^o? • • • de chacun des facteurs, el celui du produit ao^o^o • • » <^sl pair ou impair.
(* ) Ces formules sont analogues à celles qui donnent cos(a + 6) et siD(a + 6). (') Cette formule est analogue à la formule de Moivue.
iHi LIVRK III. — L\ lil\ l>IBlLITl': \ B ITUMÉTIQL C
!2I3. CUttificatioiis des dlTisenn. — Soil un nombre quelronquc n ^rr. n'^lfic^. décomposé en ses facteurs premiers. Si
nous posons
