CHAPITRE \\1. — DIVISEURS DES NOMBRES

On peut rc^parlir les diviseurs cFun nombre suivant une autre méthode, en groupant tous ceux qui donnent le môme résidu pour un module donné ; mais cette classification repose sur la théorie des racines primitives, que nous exposons plus loin. Nous nous bornerons à la répartition des diviseurs d'un nombre impair par la considération des modules 4 et 6, et nous supposerons que, dans le second cas, le nombre considéré n'est pas divisible par 3. Désignons par A" le nombre A ou le nombre A', suivant que a est congru à -4- I , ou à — i , pour le module 4 (oupour le module 6 ) et de même pour tous les autres facteurs premiers^ désignons par f^ et par/*! les diviseurs du nombre n qui sont congrus à -f- i ou à — i , pour le module considéré ; on aura alors

Vo-^- Vi = ABC....

par addition et par soustraction, on en déduira les sommes des diviseurs /o et f^,

214. Théorème de Dedekind. — Nous nous servirons des résultats qui précèdent pour établir plusieurs propositions importantes de M. Dedkkuno. Soit n = a^b^c^ , . .un nombre décomposé, et considérons le développement

abc. . .

désignons par Oq et Oi les diviseurs qui sont du même genre que

-.— — ; ce produit est égal à Soo — S0| .

Soit 0 une partie aliquote de //. ; nous formerons tous les 8o et tous les ôi qui sont multiples de o. On observera que les Oq et les 0| sont les multiples de a*~* />?~*cY~* . . . ; par conséquent, si ces diviseurs sont aussi des multiples de o, ce sont des multiples du plus petit comultiple de o et de (nlabc, . .). Soit M ce plus petit comultiple; on aura

M = ax7,?'cY'...

les différences a — a', jï — g', y — y? • . • sont nulles ou égales à i ; mais l'une d'entre elles, au moins, n'est pas nulle, puisque l'on E. L. — I. 25

'i'A LIVME III. — L% Om-IBILirÊ iftlTHMCTIsfCC

'îiip[Ki5^ 0 '^ n, Drr-i^rrion? pir a\ 0 . *. .... le^ nombre* preniiers pour lesqud^ c*:lte iliir^^r<='nce nV?i [•<!> nulle: le* dî\î>eur5 o* ri o,. qui â^^nl des multiples de o. sont dunmr? par le développement

l'ar conséquent, les di\iseurs o« et 0| sont en même nombre. De là ce théonme : .S7 o r//' s ter ne une parité aH'/uote d'un nombre n =^ a'^h'^c" . . . . les dû'ispurs de n. multiples de Z et de ninhr... , se part accent en deux groupes également nombreux, suivant qu'Us sont ou ne sont pas du senre de o.

^)ïï d/'duil de ce tht'-orrnie diverses conséquences. Considérons, par exemple, la fonction G n ■ définie par la relation

\) Fi — F' </. — F ■</;—... — F /i = G t /i ,

dans laquelle le premier membre s'applique à tous les diviseurs lie n\ on en déduit Vd formule inverse

*'x) Fi n; -- SG< Oo) — SG< Oi .

dans laquelle le digne de sommation du second membre se rap- [)orte à toutes les valeurs de o„ et de Oj que nous venons de définir. En effet, si Ton remplace dans le second membre de l'équation ('A) chacune des valeurs de o^ et de o« |)ar la somme des valeurs de F qui correspondent à tous les diviseurs o de Oq ou de Oj. i'A si Ton fait la somme des é{^alités obtenues, tous les termes s'annulent <leax [lar deux, à Tcxceplion de ¥ (n).

Supposons, par exemple, que Ton veuille déterminer l'expression de la fonction '^{n) d'après la propriété donnée

il nous suffit de supposer G' n ) r= n, et par suite, d'après (2),

Ainsi les formules (3) et (4^ sont inverses Tune de Tau Ire : et Téf^alilé (3) caractérise la fonction cp(/i)de n que Ton appelle Tin- (licatcur de n (voir le Chapitre suivant ).

Si l'on remplace dans la formule (1) le signe d'addition parle