CHAPITRK X\I. — DIVISEURS DES NOMBRES
signe de multiplication, on déduit de même la formule inverse
Prenons pour exemple la fonction arithmétique F (ai) telle que cette fonction soit égale à p pour n premier ou égale à une puissance d'un nombre premier, et égale à i lorsque n est divisible par plusieurs nombres premiers différents; on aura évidemment
F{i).F(di},F(di).,.F{dn) = n.
215. Théorèmes de liouville et de Lejeune-Dirichlet. — Désignons par X un nombre entier et positif, par f{x) et g{x) deux fonctions dex, et posons
l F(x)=/(l)-T-/(2)-r-/(3)H-... -4-/(07), ^'^ I G(2r)=^(l)-h^(-2)-^(3)-T-...-+-^(ar).
Sia, 6, c, ..., désignent tous les diviseurs de j;, les nombres - > t^
donc l'identité
- > . . . représentent tous ces diviseurs dans un autre ordre. jOn a
Donnons successivement à x les valeurs i, 2, 3, . . . , /i et faisons la somme des égalités obtenues. Dans la somme des premiers membres, on trouve ^(/?) pour toutes les valeurs de x
p, 2/?, 3/?, ..., qppj
en désignant par y^ Tentier de (/i :/?). Par conséquent, le coeffint de g{p) dans la somme des premiers membres est F {qp)- On a donc
On a donc
\ =f(l)G(q,)-+-/{2)G(q^)^,..-+-/(n)G{qn).
Soit, par exemple, g(x)= 1 et G(x) = x, alors
(4) F(q,)-^F(qj)-}-...-r-F{qn) = qxf(l)-hqt/{2)'^..,-\-qnAn),
En supposanl/(j-) = .r, la formule (4) donne, en désignant toujours par (T{n) la somme des diviseurs de /«,
(5) (J(l)-+-(J(9.) -+-...-+- <T(n) = qi-h'2qt -+-... ^nqn]
mais, en général, pÇp est le plus grand multiple de p qui ne surpasse pas /i ; on a donc celte proposition : /^ somme des diviseurs des n premiers entiers égale la somme des plus grands multiples de ces nombres qui ne surpassent pas n.
La relation (5) peut s'écrire autrement; si Ton pose
n =pqp-^r,,, et si l'on remplace />5rp par n — r^, on obtient
Donc, la somme des diviseurs des n premiers entiers, augmentée de la somme des restes que Con obtient en divisant n par tous les entiers qui le précèdent, est égale au carré de n.
Enfin, si dans la formule {/\)oti suppose /(jt) = i, onen déduit que le nombre des diviseurs des n premiers entiers est égal à la somme des quotients de n par les n premiers nombres.
Exemple /. — Démontrer les formules
qm ^ qm ^^ ..-^qj; = ry, -i- ('2"» — l) ^i -h (3'» - 2'") ^3 -+■ • • . ,
h — -+-...-T- — —Il — — — -— — — — . , . ,
q\ q\ qn \ .1 -2.3 S..\
q\-^ \ q%-\-\ ' 7n -T- I 1.2 '2.3 3.4 **' X^/i -1- X'Za H- . . . -h XVf. =z n -r- (À — iH7i ^ ^72 -^ ^"73 -^
On remplace F(jf) successivement dans la formule (4) par
X X -i- Ij
On trouvera d'autres formules en remplaçant F(:7;par
cl X{X -i- l). . . {x -.- "k )
J X{X -hl). , .{X -r-\)
<:IIAPITRE \\1. - DIVISEIRS OKS NOMBRES. 889
Exemple II. — Démontrer les formules
(i\^* /^Y' /àY^
On substitue à ridentité(2) une autre identité dans laquelle les signes sont remplacés par les signes x ; la multiplication des égalités obtenues donne Tidentité
on remplace ensuite 0{x) par x et ¥{x) par x, par (i -i- a?),
Le lecteur trouvera un grand nombre de formules analogues aux précédentes dans rintéressant Mémoire de M. E. Gesaro, qui a pour titre ; Excursions arithmétiques à V infini, Paris, i885.
