CHAPITRE XXII. — DE l' INDICÂTE UR

et les autres entiers, premiers à /i, sont au nombre de

n > ou n\ \

Supposons maintenant que n contienne deux facteurs premiers a et t, élevés à des puissances quelconques ; les nombres non premiers à n sont les multiples de a ou de 6, c'est-à-dire

a, 2fl, 3 a f - ) a, en nombre - ;

\al a'

mais, dans ces deux suites, il existe des nombres égaux, multiples à la fois de a et de 6, et par conséquent de leur produit ab. \insi, les nombres comptés deux fois sont

ah. lab. ^ab. ..., ( — r ) a^, en nombre —r :

\ab / ab

donc, les nombres de la suite de i à n^ qui ne contiennent ni a, ni by c'est-à-dire ceux qui sont premiers à n, sont en nombre

n -\ -r ou /l I— - I — - .

a o ab \ aj \ b /

En continuant ainsi, on arrive à démontrer que, si n ne contient que les facteurs premiers a^ b, c, . . ., Ij inégaux deux à deux, on a pour rindicateur l'expression donnée par Euler C )

11 reste à montrer que celle loi, trouvée par induction, est générale. Nous observerons d'abord que, si l'on désigne pary un nombre premier à /i, le nombre des entiers premiers à n dans la suite des qn premiers nombres est q^{n), puisqu'en divisant tous ceux-ci par /i, on reproduit q fois la suite des n premiers nombres.

( ' ) EuLKii, Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata {Comm. nov. Acta Petrop., l. VIII, p. 74). — Speculationes circa quasdam insignes proprietateg numerorum {Acta Petrop,, t. IV, p. 18).

Soit donc N le produit par n d'une puissance quelconque d'iirt nombre premier L qui ne divise pas n. Les nombres de la suite des N premiers entiers qui sont premiers à n est

Mais, pour obtenir les nombres de la série des N premiers entiers, qui sont premiers à N, c'est-à-dire an et à L, il faut diminuer l'expression précédente du nombre des termes de la suite de> N premiers, qui sont divisibles par L, et premiers à n; les nombres divisibles par L sonr

L, aL, 3L, . . . , ( p I 1^,

et pour qu'ils soient premiers à /?, il faut el il suffit que leurs coefficients

ij «^ <j» ...» |j

soient premiers à n\ or, d'après la formule (-2), ils sont en nombre

donc le nombre des entiers inférieurs et premiers à N est

c'est-à-dire

la formule (r) est donc générale. On peut Técrire encore sous rime des deux formes

q(/î) ^ a*-î6P-»cY-i...(<'/ — i)(6 — iMc -1)... ou

' ^ ^ Jmà a Jmà ab jhd aô

abc

Exemple I. — Vérifier par la formule d'EuLER que, si/?, q, r, ... dé signent des entiers premiers deux, à deux, on a

o(pqr...) ^. o(p),o{q). o{r)