CHAPITRE XXII. — i)K l'indicateur. JqS

* Exemple II. — Démontrer directement, ou vérifier que l'indicateur d'un entier plus grand que 2 est toujours pair.

Exemple III. — Démontrer directement, ou vérifier par la formule d'iiu- LKR, les relations

Exemple IV. — Le nombre des fractions irréductibles plus petites que i et dont le dénominateur est n est égal à o{n).

Exemple V, — Le nombre des fractions irréductibles qui ne surpassent pas I et dont le dénominateur ne surpasse pas n est égal à

S„9(/l) rrr 1 -i-cp(i)-f-9(2)-h...-i-0(/i).

On peut simplifier le calcul de 2 en se servant du théorème sur l'indicateur du double d'un nombre (Ex. III).

Exemple VI. — Si a désigne un nombre premier et n un entier quelconque, le nombre des entiers premiers à a, qui ne surpassent pas n, est

ExempleVII. — Si a et 6 désignent deux nombres premiers différents et n un entier quelconque, le nombre des entiers premiers à ^ = a^b?, qui ne surpassent pas /i, est

a o au

Exemple VIII, — Trouver la somme des entiers inférieurs et premiers à /i. — En supposant /i > 2, si </ est un nombre premier à /i, il en est de môme de (n — q), son complément à /i; d'ailleurs pour n pair et > 2, le nombre in n'est pas premier à n. Donc les entiers inférieurs et premiers à n se rangent en deux groupes complémentaires pour former la somme n Ainsi, la somme cherchée est le produit de n par la moitié de son indicateur.

Exem,ple IX. — Si A^ désigne la somme des/?'^"" puissances des entiers inférieurs et premiers à n, ou des produits/? à/> des mêmes nombres, on a l'identité symbolique

kP^i^n—-\.y. (Gbsaro.)

Exem.ple X. — Trouver la somme des puissances semblables des nombres de la suite i, 2, 3, . . ., a:, premiers à x.

3i|4 MVRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.

Soit d un diviseur de x\ on a la formule ( n^ 134)

/iû^"

par un procédé analogue à celui qui conduit à l'évaluation du nombre ç(j^\ on trouve, en désignant par ^n-\ 'a somme cherchée, et par T — a'^bPcy . . le nombre donné, la formule

en supposant les nombres Q liés aux nombres de Bernoulli par les égalités

Ainsi, en particulier, si l'on désigne par '::(x) le produit des facteurs a, 6, c, . . ., de X, pris avec le signe -f- ou le signe —, suivant que leur nombre est pair ou impair, on a

SSj-- o(x)[x*^\r.{x)].

4S3=:xç)(jr)[x»-- tJx)],

Par les formules de Newton (n** loi), on déduira les sommes des produit? deux ù deux, trois à trois de tous les nombres inférieurs et premiers à X {Nouvelles A Fin. de Maf/t.: •>.*' série, t. XVI, p. i57).

217. Table des indicateurs. — La connaissance de rindicaleur d'un nombre est d'une extrême importance pour les recherches ultérieures; il nous paraît donc indispensable dedonner les diverses valeurs de ces nombres. Le Tableau suivant contient, dans une |)remière colonne, les valeurs de l'indicateur depuis i jusqu'à loo; la seconde colonne n contient tous les nombres qui correspondent à cet indicateur; la troisième colonne [jl contient le nombre des valeurs de n qui correspondent à Tindicaleur. On remarquera la discontinuité des valeurs de Tindicateur, car il n'existe aucun nombre n dont l'indicateur cp(/î) soit égal à l'un des nombres