CHAPITRE XXII. — DE L INDICATEUR

Table des nombres qui correspondent à un indicateur

donné jusquUi 100.

» ao»

» ÏO'^1

, ii4i 126

, IIO, l32

, io5

, 3oo

lOO,

396 LIVRK III. — LA DIVI8IB1LITK A R ITll M ÉTIQ U K.

218. Denx extensions de l'indicateur. — On trouve une première extension de Tindlcateur dans la solution de la question suivante : Parmi les n termes consécutirs d'une progression arithmétique dont la raison r est un nombre premier à /i, combien y a-t-il de termes premiers à /i?

Soit a le premier terme de la progression, nous pouvons remplacer les termes de celle-ci

(1) a, a-^r, a-^ir, ..., o-+-(/i — i)r.

par les restes de leur division par //, car le plus grand codiviseur de deux nombres est égal au plus grand codiviseur de l'un d'eux n et du reste de la division de l'autre par/?. Maison démontre immédiatement la proposition fondamentale suivante :

Les restes de la division par n de n termes consécutifs d^une progression arithmétique dont la raison r est un nombre entier, premier à n, sont tous différents et reproduisent, dans un certain ordre, les nombres

En efTel, si (a -h hr) et (a -h A*/;, divisés par /?, donnaient le même reste, leur différence

serait un multiple de n, et puisque n est premier à r, il diviserait le nombre {k — /«), plus petit que lui, mais qui n'est pas nul.

Par suite, le nombre des termes de la suite (i) qui sont premiers à n, est égal au nombre des termes premiers à /?, dans la suite (2), et l'on a ce théorème :

Dans la suite de n termes consécutifs d'une progression arithmétique dont la raison est un nombre premier à /?, le nombre des termes, premiers à n, est égal à V indicateur de n.

D'ailleurs, en continuant la progression arithmétique, on retrouverait les restes dans le même ordre.

La seconde extension de l'indicateur répond à la solution du problème suivant : Parmi les n termes consécutifs d'une progression arithmétique dont la raison r est un nombre premier à w, déter-