CHAPITRE XXII. — i)K l'indicateur

miner le nombre de ces termes qui ont avec n = dû un plus grand codi viseur égal à o. Par des considérations analogues aux précédentes, on peut remplacer la progression (i) par la suite

1} ^t <3« •••y ft j

mais les termes dout il s'agit sont des multiples de o et sont

égaux à

t, lùj 36, . . . , dû.

♦ D'autre part, pour que le plus grand codiviseur de AS rt

de n =rfo soit égal à o, il faut et il suffit que h et d soient premiers entre eux; par suite, le nombre demandé est égal au nombre des termes de la suite

I) jty 0> ...j Uj

qui sont premiers à rf, c'est-à-dire égal à cp(rf). Donc, dans une progression arithmétique de n termes consécutifs, dont la raison est un nombre premier à n, le nombre des termes qui ont avec n = do un plus grand codiviseur égal à 3 est égal à V indicateur de d,

219. Indicateur d'un produit. — Nous allons démontrer directement que l'indicateur du produit de plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux est égal au produit des indicateurs des facteurs. Prenons d'abord deux nombres p etgr, premiers entre eux; écrivons, ainsi qu'il suit, les /^qr premiers nombres, et désignons {p — i) par s afin de simplifier l'écriture

iq -^ h

. 'iq-\~q

sq -\- i sq -h 'i ... sq -^ h ... sq -\- q .

Pour que l'un des nombres de ce Tableau soit premier à/?y, il faut qu'il soit séparément premier à/? et premier à q. Considérons une colonne verticale quelconque, celle de rang h ; si h est pre-

SfjS LIVHE III. -- LA DIVISIBILITK A R ITIllf ÉTIQ U E.

mîer à q^ il en est de môme de tous les termes de la colonne, et si II n^est pas premier à </, aucun terme de cette colonne n^est premier à q. D^ailleurs la première ligne horizontale du Tableau contient ^{q) nombres premiers à q. Mais, chacune des colonnes re> présente p termes consécutifs d^une progression arithmétique de raison q et nous devons v choisir les nombres premiers à />; d'après la première extension de l'indicateur, il y a, dans chacune de ces colonnes, 'f (/>) nombres premiers à/?; mais, comme nous ne devons prendre que les colonnes dont le rang est un nombre premier à </, le nombre des termes du Tableau (' K premiers ^ pq^ est donné par

Si Ton remplace q par le produit qr^ les nombres/?, q^ r étant premiers entre eux deux à deux, on a

o(p.qr) r^^t/).). r^V'"^ ?'/^^?(<7)-?('*)î

et cette démonstration s'applitjue à un nombre quelconque de facteurs premiers entre eux deux à deux.

On retrouve ainsi une seconde démonstration de la formule d'EuLER; car, si Ton suppose

n — aot^PcT . . ., on a, par ce qui précède,

et d'ailleurs par suite,

Considérons maintenant deux nombres p et q, contenant les mêmes facteurs premiers a, h, c, . . . , avec des exposants quelcon-

(') On peut remplacer, à cause de la première extension de l'indicateur, le Tableau des pq premiers nombres par jm/ termes d'une progression arithmétique, pourvu que sa raison soit un nombre premier à/;çr.