CHAPITRE XXI l. — DE l' IN DIC ATE L H. 3ycj
((lies, et désignons par 3 le produit des premières puissances de ces facteurs. On a, par la formule précédente,
o.'^(yy) -r= p.o{o ), ^.'^( pq) -pq.^io):
et, par suite.
?(y>7)--?(^'-?WJ--(3^
Cette formule sVHend à deux nombres ([uclconques />, et q^ ; alors ô dési^j^ie le produit des premières puissances des diviseurs premiers communs aux deux facteurs. Plus généralement, désignons par /?, f/j /•, ... des entiers quelconques positifs, par 0| le produit (les premières puissances de tous les diviseurs premiers communs à deux quelconques, et non à plus de deux, des nombres donnés ; par 02 le produit des premières puissances de tous les diviseurs premiers communs à trois quelconques, et non à plus de trois, des nombres donnés; et ainsi de suite. On a la formule générale
o(pqr. ..) = ':>( p).o{q ).o(r). .. , — >— r — r— — >— • • ••
D'ailleurs, puisque, pour 0 > i, l'indicateur de 0 est plus petit ([ue ô, il en résulte que l'indicateur d'un produit de plusieurs facteurs n'est jamais plus petit que le produit des indicateurs des facteurs. Pour qu'il y ait égalité, il faut et il suffit que les facteurs du produit soient premiers entre eux deux à deux.
220. Somme des indicateurs des diviseurs d'un nombre. — Supposons que l'on ait formé, dans l'ordre croissant, le tableau de
tous les diviseurs
I , Ôj, Ôj, O3, .... /l,
d'un nombre n, et désignons par
/i, ilij df, 6^3, . . . , I,
les mêmes diviseurs dans Tordre décroissant, de telle sorte que l'on ait
400 LIVRE III. — l.\ DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
les nombres dh et o^ étant appelés diviseurs conjugués. Cela fait, partageons tous les nombres de la suite
en autant de elasses (pi'il y a de diviseurs de n. Supposons que la première classe renferme tous les termes de la suite (i) qui sont j)reiniers à /?; que la seconde classe renferme tous les termes de la suite avant avec n le plus grand codi viseur 2| ; que la troisième classe renferme tous les termes de la suite avant avec n le plus grand codiviseur 02, . . . , et que la dernière classe contienne le seul nombre n ayant avec n le plus grand codiviseur /i. Il est évident qu^in nombre de la suite se trouve dans Tune des classes et ne se trouve que dans une seule. Mais, d'après la seconde extension de l'indicateur, les nombres des termes de chacune des classes sont respectivement
o(/i). ':>{dx\ ^Uh) o(i),
et Ton a celte proposition, due à Gauss {Disq. Arith., n** 39) :
La somme des indicateurs de tous les diy^iseurs d'un nombre est égale à ce nombre.
A cause de l'iniporlance de la proposition précédente, nous en donnerons une seconde démonstration. Nous avons vu (n** 207), que Ton forme le tableau de tous les diviseurs d'un nombre
n = a'^b?cy..., en prenant les différents termes du produit ABC
où l'on a posé
Supposons ([uc Tcm forme aussi le |)roduit A< B| C| — dans lequel on suppose
Al — 0(1) -f- «i(a ) -t-. . .— o(a*') -T-. . . — Q(a» ),
C; -- ':/Ci ) -^ o/'c ) -^ . . . -- o( r' -A- . . -^ oic^ ),
CIIAHITRE XX]|. — DE L* I N DIGATB L R. i\oi
un terme quelconque du premier produit ABC. . . a pour expression
et le terme correspondant du second produit A|B|C|. . . a pour expression
o(««').?(6P').9(cTr')...,
OU, par la formule de l'indicateur du produit,
Par conséquent, puisque le premier produit donne la somme de tous les diviseurs de /i, le second produit donne la somme de tous les indicateurs des diviseurs de n ; mais on a
ou, plus simplement, puisque les termes se déduisent deux à deux,
donc
AiBiC,... = o*6Pc^...;
ou, en d'autres termes, pour tous les diviseurs 5 de /i,
Réciproquement , toute fonction numérique V, telle que l'on ait
pour tous .les diviseurs d'un entier quelconque /z, est identique à
l'indicateur (n® 214). En effet, si l'on suppose successivement,
pour a premier,
Al = I, a, a», . .., a«,
on voit que, pour ces valeurs de n, les nombres V et cp sont égaux, puisque l'on ne détermine à chaque fois qu'une seule valeur de ^ par une formule linéaire. Puis, si l'on suppose successivement, pour a et b premiers,
n = ab, a^bf ab*, a* A*, a'^, a'^% a' A', . . ., E. L. — 1. 26
402 LIVRE 111. — LA DIVISIBILITÉ AR ITII M ÊTIQUE.
on trouve encore V = ç pour ces valeurs de /i, et ainsi de suite.
2âl. TrolBième extension de l'indicateur. — Désignons par W{n'i le nombre des entiers h de la suite
tels que (A — CtK (h — e^), • • . ^ (A — Ck) soient des entiers premiers à /i, en représentant par ei, €2, . . ., ^a des entiers quelconques. On a, pour deux nombres premiers entre eux, p et y, la relation
Cette relation se démontre, comme la formule de Tindicateur, pour un produit de deux facteurs premiers entre eux ; d'ailleurs, la fonction numérique W devient idt^ntiquc à Tindicateur f , lorsque
Ton suppose ^i = ^2 = ^t = • • • =<?a = <>•
Cela posé, soient « un nombre premier et X le nombre des restes différents de e« , ^a, . . . , ^a» pour le module a ; on trouve facilement
\l\a)=a — \, et ^'(fi^) - a^-^ia — X).
Supposons maintenant /i = à^b^c^ . . . ; désignons par).., |jl, v, . . ., les nombres des restes différents de la suite ^i, e,, ^3, . . ., par les modules respectifs a, b, c, ... : nous aurons
ou encore
M'(« ) — — ,rt — X)(6— ui)(c — v)
^ (lOC ...
En supposant e« = <?2 = ^3 = • • • = ^î et X = [jl = v =-- . . . = i on retrouve la formule de l'indicateur.
Exemple I. ■■■- Trouver le nombre des termes de la suite
