n(n — ï)(n -hi

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qui sont premiers à n.

Exemple l\ — Soit o(a) le nombre des entiers non supérieurs au nombre a et premiers avec lui, et V(a, n) le nombre des entiers plus grands que a, premiers avec lui et non supérieurs à ai, on a les formules

(l) T('»'*)-^ ^V(2, 71 » -^-. . .-f- ^'(/l, Aï) = ?('2) -+- o(3) H-. . .-h o(/l), (2; ^'(l,/l)-+-2T(2, /l)-+-...-+-(/l— I) V(/i — I,/l)

= i[2o(2)-+-3<p(3.»-i-...-^/icp(/i)].

En eiîet, la différence

a la valeur i ou o, suivant que a et v sont ou ne sont pas premiers entre eux. Remplaçons successivement a par 1, 2, ..., (v — 1) et faisons la somme, il vient

en remplaçant v par 2, 3, 4? • • • < n, et en faisant la somme des égalités obtenues, on trouve la relation ( 1 ). On démontre de même la formule (2), en observant que la différence

a V( a, V ) — aWiOj^f — i)

prend la valeur a ou o, suivant que a et v sont ou ne sont pas premiers entre eux (Nouv. Corr, math., t. VI, p. 267).