Théorèmes de M. J. Hammond. — ' Par la notation e

entier. Posons

nous désignerons le nombre i on o, suivant que - est ou n*esl pas

(2) a(x^ = le - -T-2S - -h3e TT-f- . . . :

{0| LIVBE III. — LA DIVISIBILITÉ ABITU M ÉTIQt K.

les fondions numériques v(jr» el t< x) représentent respectif* ment le nombre el la somme des diviseurs de x, lorsque x déàgi un entier positif, et s'annulent pour x fractionnaire (*). Sixc égal au rapport de deux entiers positifs, /i et /t?, nous oblenoos

Nous avons encore

^ ' ^^mj mm im im Zm Zni

cette formule ne diflere de la précédente qu*en ce que, dans < J les diviseurs du nombre — » supposé entier, sont rangés clans Tore croissant, et dans (j) suivant Tordre décroissant. D'*aillears

seconds membres de ces deux formules sont nuls pour-^ fractic

naire.

On peut exprimer l'entier de n par m, au moyen de la formi

(') Lorsque p ci g désignent deux entiers positifs, on peut écrire

e ^ = - I -^ ces -^ h ces ^ h ... -f- ces — ^' ULU j •

par suite

On a donc

Les définitions des fonctions v(j7) et 7(x) conduisent aux fornnules

^{ — p)-^ip)^ <»(-/>) = '(/>)i

et Ton doit considérer les valeurs de v(o) et de 9(0) comme infinies, comme o résuite encore de ce que tout diviseur de — /> est un diviseur de />, et que te nombre est un diviseur de o.