CHAPITRE Wll. — DE L INDICATEUR
puis(|uc les e du second membre, égaux à i, sont tous multiples de m dans la suite des n premiers entiers. D'autre part, tout entier positif n est égal à la somme des indicateurs de ses diviseurs; on a donc la formule
n =e -•<p(i)-f-6 -«©(ajH-e -.«p(3)-h...:
mais on déduit de la relation (6), en remplaçant n par n'= n — i ,
par suite, la relation (^) devient
-E-.ç(i)-E-.o(-2)-Ey.ç(3)-...-E^,.cp(/r).
En remplaçant successivement n par i, 2, 3, . . . , /i, et en faisant la somme des égalités obtenues, il vient
(8) -/i(n-4-i) = E-.cp(i)-4-E-.o('i)-+-E-.o(3)-f-...-hE-.cp(n).
Si Ton remplace n successivement par i, 2, 3, ..., /i dans la formule (7), on obtient un système (A) d'équations linéaires qui donne
On exprime ainsi ^(n) par un déterminant d'ordre n dans lequel la dernière colonne contient les n premiers entiers; dans
les (n — i) premières colonnes, tout élément a' est égal à e-»
c'est-à-dire à 1 ou à o, suivant que /• est ou n'est pas divisible
4o6 MVRB III. — LA DIVISIRIMTÉ ARITHMÉTIQUE.
par 5. Ainsi, la colonne de rang s se compose de (s — i) zéros, suivis de i, autant de fois que possible. De même, la formule (8) donne
(lO)
lO
La dernière colonne contient les n premiers triangulaires ; pour les autres, la colonne de rang s se compose d'abord de (^ — i) zéros, puis de s éléments égaux à i, puis à 2, à 3, ..., aussi loin que possible. D'ailleurs, le déterminant (lo) se déduit du déterminant (9) en ajoutant aux éléments d'une ligne de celui-ci tous les éléments des lignes précédentes.
Exemple I. — Démontrer la formule
V I ^ ).oi/i).
Il suffit de multiplier respectivement les équations du système (A), déduit delà formule (7), par
et d'ajouter en tenant compte des relations (2) et (3) Exemple II, — Démontrer la formule
,iv(Ai)z=cr(^^j.9(i)-a(^^j.o(2)-+- cj(^^j.'i(3
Il suffit de multiplier respectivement les équations du système (A) par
n ^ n n n - e -> — s -j II 22
et (l'ajouter en tenant compte des relations (1) et (5).
223. Théorème de Smith. — Ce théorème donne l'expression du produit des indicateurs des n premiers entiers par un détermi-
