CHAPITRE XXII. — DE L* INDl GATBUR
liant du /i^^"® ordre, dont tous les éléments, tels que D' sont les plus grands codiviseurs des deux indices r et 5 de l'élément considéré. En d'autres termes, si Df. désigne le plus grand codiviseur de r et de 5, on a
(i) 2diD}D|...DJ =o(i).o(2)...ç>(/i).
On en déduit la valeur de 'f (/^ comme le quotient de deux déterminants d'ordres /i et (/i — i).
La démonstration de ce théorème repose sur les propriétés d'une fonction numérique à deux Indices qui possède des propriétés analogues à celles de l'indicateur. Si l'on suppose
n = a*6?cY . . . /^, on peut écrire l'expression de 'f(n) sous la forme
En effectuant les produits du second membre dans l'ordre habituel (n° 67), nous désignerons le développement par
12) 9 ( n ) — AJi — n, -f- AI3 — /iv 4- . . . -h ris-i — n, ;
s représente le nombre des termes du développement, qui est égal à une puissance de 2, dont l'exposant renferme autant d'unités (jue n renferme de facteurs premiers différents. Les nombres /?«, /?2» . . . , /2j ne représentent pas tous les diviseurs de n, mais ne représentent que ceux qui sont des multiples du quotient de n par abc..,l\ d'ailleurs nx^=^ n.
Cela posé, considérons la fonction numérique |jl(/î,^), dans laquelle z désigne un entier positif et arbitraire, et n un entier donné,
( 3 ) fi(/i, ;: ) - D=. — Df,. 4- D=, - ... - DJ, ;
nous allons démontrer que la Jonction de Smith possède une propriété analogue à celle du produit des indicateurs. En d'aulres termes, si n est le produit de deux nombres p et q^ premiers entre eux, on a, quelle que soit la valeur de l'entier z,
(4) f^(/>,-).(j.(7,iï)= \L(n,z),
4o8 LIVRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
En effet, on a, d'après (2),
ç(n )= /Il — Alj-h/lj — /14-f- ...
mais, d'autre pari, puisque n=pqy on a Tidentité
Ainsi, tout nombre rii est le produit de deux nombres pj et qk, premiers entre eux, comme diviseurs de deux nombres premiers entre eux; par suite,
Si Ton fait la somme de toutes les égalités analogues à la précédente, après avoir multiplié les deux membres de celle-ci par ( — i)"!, on trouve précisément la formule (3).
La fonction [x(/i, .5) de Smith est égale à r indicateur de n ou à zéro, suivant que n est ou rHest pas un diviseur de z. En effet, supposons d'abord que a'^ soit un diviseur de Z] alors, il en est de même de a*~* ; on a donc, par définition,
supposons maintenant /i = a*6PcT.../^, il résulte, par la formule (4),
jx(/l,-5) =0(/l).
Supposons que a^ ne soit pas un diviseur de .s; on aura
z = a^'z', avec a' < a,
el, de plus, a et 2' premiers entre eux. On a, par définition,
mais le plus grand codiviseur de a* et de z est égal au plus grand codiviseur de a* et de a**', c'est-à-dire à a^'; il en est de même pour le plus grand codiviseur de a*~ * et de ^; par suite, si a* ne divise pas .3, on a
li{a^,z) = o.
CUAPITRE XXII. — DE L* INDICAT E U R. 409
Désignons par Ç(/î) le déterminant de Smith, défini par
ajoutons à la dernière ligne, ou de rang /î = /i|, les lignes de rangs n^^ n^, . .. , n,i, et retranchons-en les lignes de rangs ^2, n^. . . . , ns] la dernière ligne de ^{n) deviendra
(ji(/i, I), (Ji(n,2), ..., (i(/i, /i — 0, (Ji(/i, n),
ou, par suite des propriétés démontrées ci-dessus,
On a donc la formule de récurrence
d'où l'on tire
Ç(/l) = 0(/l).0(/l— i;.cp(/l — 2).
Le déterminant de Smith a la forme suivante
Le déterminant est symétrique; les (p — i) premiers éléments de la ^7»«^™e rangée sont respectivement égaux aux éléments de la seconde diagonale, de rang (/? — i), ainsi que nous l'avons figuré en caractères gras. En effet, le plus grand codiviseur de ^ et de gr
est égal au plus grand codiviseur de (p — q) et de q.
Le théorème de Smith a été publié dans les Proceedings of the LondorC $ Mathenxatical Society (vol. VII, mai 1876). Il a été généralisé par M. Mansiox, dans le Messenger of Mat hématies (octobre 1877), et dans le tome II
4l(» LIVRE III. — LA DIVISIBILITK A RITilMETIQ U K.
(les Annales de la Société scientifique de Bruxelles. Quant aux formules de M. HAMMONDf du numéro précédent, elles sont inédites et nous ont été communiquées par M. Sylvester.
Les déterminants de Smith et de M. Hammond sont très curieux; mais nous devons faire observer qu*ils supposent, non seulement la décomposition de n en facteurs premiers, mais aussi celle de tous les entiers, jusqu'à n. C'est donc, en quelque sorte, le Crible ^'Eratostuèxe transformé en déterminant.
Exemple 1. — Si tous les éléments d'un déterminant à n rangées sont égaux à I, en exceptant ceux de la diagonale, pour lesquels a^ désigne le nombre <Ies diviseurs de /?, la valeur du déterminant est i.
(Mansion.)
Exemple II. — Le déterminant à n rangées, dans lequel chaque élément est égal à I ou à o, suivant que le plus grand codiviseur des deux indices est ou n'est pas un carré parfait, a pour valeur
on supposant que a>6PcT . . . /^ représente la décomposition de la factoriclle n\ en ses facteurs premiers. (Cesaro.)
2!24. Formules de Ijegendre. — Ces formules ont pour but de déterminer le nombre des entiers jusqu'à n, qui ne sont pas divisibles par des nombres premiers donnés
inégaux deux à deux, dont le produit p surpasse n.
En désignant par À,, le nombre cherché, et en appliquant le théorème sur les entiers approchés, à une unité près, par défaut.
E- E^ au b a
on démontre par un procédé semblable à celui qui a servi à établir la formule d'EuLER (n* 216)
abc
On trouve de même le nombre \in-%. des nombres impairs, jusqu'à (2/1 — I ), qui ne sont pas divisibles par des nombres premiers
CHAPITIIE XXII. — DE L INDICATEUR. 4ll
inégaux deux à deux, dont le produit p surpasse (2/1 — 1). On a la formule
Atn^l -^
n-^\{n — \) v^ ^ « -i- i ( rtô - 1 »
^in-l
= „2E'L^lllîilli»-.y E
ab
Plus généralement, considérons les n premiers termes d'une progression aritliméti(|ue
A — B, 2A — B, 3\— B /lA— B,
dans laquelle on suppose A et B premiers entre eux et B << A. Désignons par x^ le plus petit entier positif qui rend {S.x — B) divisible par le nombre premier a\ désignons par x^i le plus petil positif qui rend (Ajc — B) divisible par le produit ah de deux nombres premiers inégaux, et ainsi de suite. Le nombre des termes de la progression donnée, qui ne sont pas divisibles par des nombres premiers, inégaux deux à deux, dont le produit surpasse {nk. — B), est donné par l'expression
^ a Jmà ab
On peut supposer, dans les formules précédentes, que «, 6, r;, ...,/?, représentent l'ensemble des nombres premiers j usqu'à p^ en supposant que le carré du dernier nombre premier /> de cette suite ne surpasse pas le dernier terme /?, (2/? — i),ou^A/i — B),de la progression donnée. On obtient alors le nombre des termes premiers que renferme celte progression et ainsi , par exemple, la totalité des nombres premiers jusqu'à n ou jusqu'à (2/? — 1).
Ces formules ont été obtenues par Legkjvdre, mais elles ont été jusqu'ici de peu d'utilité, à cause de la longueur des calculs. Cependant Piauiion de Mond^lsir est parvenu, en les transformant, à calculer le nombre des nombres premiers qui ne surpassent pas 1000000 (voir les Comptes rendus de V Association française au Congrès du Havre, 187^). D'autre part, iM. Sylvester vient de me communiquer la formule suivante :
Si Ton représente par H - le nombre - lorsque sa partie fractionnaire est-» et V entier le plus approché de - dans les autres
il'JL LIVRE 111. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
cas; si l'on désigne par a, b, c, . . ., p, tous les nombres |)remiers de 2 k pf en supposant que p^ ne surpasse pas un nombre pair donné 2/1, la totalité des nombres premiers plus grands que n et plus petits que 2/1 est donnée par Tentier de
abc
CIIAPITRK Wlll. — LES RESTKS. il^
