LES RESTES

225. Propriétés des congruences relativement à la division. — Nous avons exposé précède iiimcnl (n°* 32, 33 et 34) les propriétés fondamentales des congruences dans leurs rapports avec l^addilion et la multiplication; mais ces diverses propositions ne s'appliquent à la division qu'avec certaines restrictions.

Théorème I. — Si deux nombres sont congrus pour un modulcy ils sont congrus pour un dixiseur quelconque du module. En effet, la différence de ces deux nombres est, par hypothèse, un multiple du module, et, par suite, un multiple de l'un de ses diviseurs. Mais la proposition réciproque de ce théorème n'a pas lieu.

Théorème 11. — Si deux nombres sont congrus pour des modules différents, ils sont congrus, pour un module égal au plus petit comultiple des modules donnes. En effet, si deux nombres sont congrus pour divers modules, leur différence est un multiple de ces modules et, par conséquent, un multiple de leur plus petit comultiple.

En particulier, deux nombres congrus pour différents modules, premiers entre eux deux à deux, sont congrus pour le produit des modules.

Théorème III. — Lorsque les deux membres d^une congruence sont des multiples d'un entier premier au module, on obtient une congruence équivalente en divisant les deux membres par cet entier. En effet, soit, pour un module quelconque m,

ca ^i^cb ( mod. /?i).

et c premier à m; par hypothèse, la différence c(a — b) est divisible par m, et puisque m est premier à c, il en résulte, par le

|l6 I.IVRK m. — LA DIVISIIIILITH A R ITIIMÉTIQ L E.

Par conséquent, si a et m sont premiers entre eux, la forme linéaire {ax -h h) enf^endre un système complet de restes pour le module m , lorsque Von y remplace successivement x par les restes dUtn système complet,

227. Nombres associés à 1 pour le modale m. — En particulier, si l'on considère les restes par m des (m — i) termes de la suite

rt, aa, 3ûr (m — i)a,

dans laquelle on suppose a et m premiers entre eux et a <; /«, il existe toujours un terme aa de cette progression, et un seul, qui donne i pour reste. On dit alors que les nombres a et a sont associés à i pour ce module i ' ) : d'ailleurs, si a et m ne sont pas premiers entre eux, le terme a% ne peut donner i pour reste.

Pour un module premier p, un entier ^ autre que i, ou (p — i), ne peut être égal à son associé. En effet, lorsque l'on suppose a = OL, on en déduit que (a^ — i), ou que le produit

{a -f-i)(rt — i)

est divisible par/?; par suite, p étant premier divise (a-j- i) ou (a — i) et l'on en tire a = i, ou a =: [p — i).

Lorsque le module est composé, l'élude des nombres égaux à leurs associés est importante en Arithmétique, utile dans les applications industrielles. Elle sera l'objet de développements ultcy rieurs, aux Chapitres sur les Résidus quadratiques et sur les Lois arithmétiques du Tissage.

La notion des nombres associés ramène l'étude des diviseurs de la forme (x'^zhy") à ceux de la forme (5''±: i). En effet, en supprimant d'abord les codiviseurs de x et dey, on peut supposer xely premiers entre eux. Par conséquent, si un nombre quelconque d divise {x"zhy'^)j ce nombre est premier à :r et à ^ ; désignons par p l'associé dey pour le module rf, nous aurons

P«(a:«±7'») = (3a:)«dbi {mod.d), (•) Gadss, Disq. Arith., n» 77.