CHAPITRE WIII — LES RESTES

et, si l'on d(^sîgne par z le reste de la division de ^x par d, on voit que d divise (z^zhi).

Plus généralement, loul diviseur d'une forme homogène /(x, y)^ dans laquelle on suppose x et y premiers entre eux, est un diviseur de la forme J{z^ i). D'ailleurs, cette propriété s'applique aux formes homogènes contenant un nombre quelconque de variables.

Enfin, nous observerons que, pour un module m, au lieu d'associer à I les nombres premiers au module, on peut les associer à l'un quelconque D des ^(/w) nombres entiers, premiers et inférieurs au module. Par conséquent, si a et D sont deux nombres inférieurs et premiers au module /w, on peut toujours trouver un nombre a, et un seul, compris entre o et /??, tel que l'on ait

aa=n= D (mod.m); cette remarque sera utilisée plus lard.

228. Restes du triangle arithmétique. — Il est utile de connaître, dans un très grand nombre de questions, les restes des termes du triangle arithmétique par un module premier (*). On a d'abord la proposition suivante : Si p est un nombre premier, les coefficients de la puissance du binôme d'exposant p sont divisibles par /?, en exceptant les coefficients extrêmes qui sont égaux d I. En effet, soit le nombre entier, on a

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lorsque q est compris entre o et />, le module /> est premier à i , 2, 3, . . ., y, et, par suite, k q\. Donc cette factorielle divise le produit {p — i)(/? — 1). . ,{p — <7-|-i), et Ton a

G^— o (mod./>).

(*) Dans son Mémoire sur la théorie des nombres, présenlé à rAcadémie des Sciences le 3i mai i83o, Cauchy indique différenls procédéà pour simplifier le calcul des restes du triangle arithmétique (p. 233-34^t)* — ^'^ir une addition à la fin du volume.

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