CHAPITBE XXIII. — LES RESTES

Prenons, par exemple, /? = 5, et construisons le triangle arithmétique, en supprimant les multiples de 5; nous avons alors le Tableau précédent, dans lequel chaque rectangle représente les cinq premières lignes du triangle arithmétique ; les zéros sont remplacés par des points, et les termes de chacun des rectangles sont multipliés respectivement par des nombres, représentés en gros caractères dans chaque coin supérieur à droite; ces nombres reproduisent eux-mêmes les cinq premières lignes du triangle de Pascal. On a donc, en général, pour le nombre premier/?,

en désignant par m^ et /i| les quotients approchés par défaut dans la division de m et de /i par/?, et par |jL| et Vf les restes positifs. On a, de même, en désignant par m^ et n^ les quotients approchés de mi et de n^ et par [Xj et Vj les restes par />,

En remplaçant successivement C^'^, Cj;,, . . . , on a donc

c«EEHc;;',c;t;c;;j... (mod./>).

Par cette formule, on ramène le problème de trouver le reste de Cj,par/>, à celui de trouver les restes de nombres CJJ^, dans lesquels jjL et V sont plus petits que p. D'ailleurs le reste est nul, si Fun des nombres v est plus grand que le [x correspondant. En particulier, si m et /i sont divisibles par/?, on a

GS^E^C;;», (mod./));

si m est divisible par /?, et si n ne l'est pas,

Cjj^o (mod./>).

Lorsque l'on a remplacé C^ et CjJ., où [jl et v désignent des nombres plus petits que /?, on peut encore remplacer [jl par son reste minimum suivant le module p. En effet, si l'on écrit la /?»^™« ligne du triangle arithmétique en supprimant les multiples de />,

420 LIVAE III. — LA DIVISIBILITÉ AAITHVÊTIQr E.

Cl si Ton forme le triangle arithmétique de bas en haut (n** 12), on trouve facilement, en supposant que l'indice supérieur de C soit plus petit que Tindice inférieur,

CJ i = (— i;" (moâ.p),

C;, " (— i;"^-^^ {mod.p\

^- ' (/i — lU/i -i-a> , . ^ CJ, — (—!)'• (mod.p).

Ainsi on a les théon mes suivants :

Si p est un nombre premier ^ les coejfficients de la puissance du binôme d^ exposant {p — i) sont alternatixement congrus à -f- I et il — i pour le module p.

Les coefficients de la puissance d^ exposant (p — 2) sont respect ii-ement congrus à la suite alternée des {p — i) premiers nombres entiers.

Les coejfficients de la puissance d'exposant {p — 3) sont respectii'cment congrus à la suite alternée des (/> — 2) premiers nom bres triangu la ires .

Et ainsi de suite.

Exemple I. — Pour que tous les termes d'une ligne*du triangle arithmétique soient impair?*, il faut et il suffit que le rang de cette ligne soit une puissance de 2, diminuée de i.

Exempte II. — Trouver la condition pour que le produit des terme* d'une ligne du triangle arithmétique no soit pas divisible par un nombre premier />, et calculer le reste <lu produit par p.

Exempte III. — Trouver les restes des termes d'une ligne du triangle aritlimétique par un module égal à la puissance d'un nombre prenaier.

229. Théorème de Fermât. — Nous avons vu (n^* 27) que si a désigne un entier quelconque, la diflTérence {a^ — a) est divisible par 10 cl, par conséquent, par 5. En général, on a le théorème suivant :

Si l'on désigne par p un nombre premier quelconque, et par a un nombre entier quelconque, la différence {aP — a) est un multiple de p.