CHAPITRE XXlll. — LES RESTES

Ënd^autres termes, dans un système de numération dont la base est un nombre premier /?, les puissances d'exposants i et p d'un nombre quelconque, sont terminées par le même chiffre.

Pour démontrer ce théorème, on remarque d'abord que la différence {aP — a) est un multiple de /?, quelle que soit la valeur du nombre premier /?, pour a = o et pour a =: i. Il suffit donc de faire voir que, en admettant la proposition pour une valeur donnée a, elle a lieu encore lorsque Ton augmente a de i. Mais on a, d'après le numéro précédent,

et, par suite, en retranchant (r/ + i) des deux membres,

(rt-hi)'* — (a -h i)= a/'— a (mod./?).

Puisque le second membre est divisible parjr>, il en est de même du premier. Donc la proposition est générale et subsiste pour les valeurs négatives de a.

On énonce encore sous une forme différente leithéorèmc précédent :

Si p désigne un nombre premier et a un nombre quelconque non divisible par p, la différence {aP~* — i) est un multiple de p.

En effet, on a

aP— a = a{aP-^~ i);

donc/} divise le second membre; mais p et a sont premiers entre eux, puisque/? est un nombre premier qui ne divise pas a; Aonc p divise l'autre facteur du second membre. Ainsi

aP-^ ^ I (mod./>).

Ce théorème, remarquable par son élégance et par son utilité, est le théorème fondamental de TArithmétique supérieure. Il a été énoncé par Fermât qui n'en a pas donné de démonstration, bien qu'il ait assuré qu'il l'avait trouvée. Euler en a publié la première démonstration conforme à la précédente.

La démonstration d'EuLER a été publiée sous le titre Theoremata Arith, nova meth, demonstr, dans les Comm. nov» Acad, Petrop.

(t. VIII, p. 74). Antérieurement, Euler n'était pas encore arrivé au résultat {Conim. Petrop., t. VI, p. io6). Dans la fameuse discussion entre Maupertuis et Komg sur le principe de la moindre action, celui-ci assura qu'il avait entre les mains un manuscrit autographe de Leibniz qui contenait une démonstration de ce théorème, conforme à celle d'EuLER (Apptl au public, p. io6 ). « Quoique nous ne voulions pas refuser de croire à ce témoignage, dit Gauss (Disq. Arithm,, n° 50), il est sûr cependant que Leibniz n'a jamais publié sa démonstration. » Voir l'Histoire de l'Académie de Berlin (lySo, p. i3o), et la démonstration de Lambert dans les Acta Eruditorum (1769, p. 109). Pour nous, il nous parait impossible d'admettre que cette démonstration, si simple et si naturelle, trouvée par Leibniz. EiLER et Lambert n'ait pu être imaginée par Fermât qui a non seulement énoncé le théorème, mais en a déduit de nombreux corollaires dont l'exactitude a été démontrée.

On peut donner du ihéorùmc de F'ermat une autre démonstration qui diffère peu de la précédente, mais qui conduit à une formule utile pour d'autres recherches. En tenant compte des congruences du triangle arithmétique, on a, pour/D premier,

(a-h ù)f' ^aP-hùP (mod.p);

en remplaçant b par (6 -h c),

(rt -\- b-r-c)!':^ aP-T-{b-\-c)/' (mod./?),

ou, en développant (6 -h c)p^

{a -h b ^c)P îBaP-^ bP-^ cl' (mod./?),

et ainsi de suite, de telle sorte qu'on a la formide (*)

{a -.- b -hc -i-. . .^ l)P ^ aP-{- bP-T-cP-T-. . ,-h iP (mod.p).

En supposant a=b = c=...=l=^i^ et ces unités en nombre quelconque, on retrouve le théorème en question.

Exemple I. — Vérifier la congruence