CHAPITRE XXIII. — LES RESTES

et, par suite,

mais les modules 87 et 78 sont premiers entre eux, on a donc

2*8 = 1 (mod. 37.73);

et, en élevant à la puissance d'exposant 75 les deux membres de la congruence précédente, il vient, puisque 37.73 = 36.75 -ht,

^87.73-1 =:.i (mod. 37.73).

Cette congruence montre que le théorème de Fermât peut s'appliquer à des nombres composés et que, par conséquent, il n'a' pas de réciproque. Nous montrerons cependant que l'on peut, avec certaines restrictions, donner un énoncé qui constitue la proposition réciproque du théorème de Fermât (n« 240).

Il arrive, mais dans des cas assez rares, que {aP-^ — 1) soit divisible, non seulement par p, mais aussi par/?? ; ainsi (3*<>— i) est divisible par ii*. Pour a = 10, le nombre (io> — i) est non seulement divisible par 3, mais aussi par 3*. On a encore vérifié que, pour a = 10 et/> premier inférieur à 1000, il n'existe qu'une seule autre valeur du nombre premier/), telle que l'on ait

loP-^ — I (mod. />»);

cette valeur exceptionnelle esc p = 487 = 2.3*-f-i. Ceci montre qu'il ne faut pas toujours se hâter de conclure par induction dans l'étude des pro~ priétés des nombres.

Exemple IL — Démontrer que le quotient de [ip-^ — 1) par le nombre premier/) n'est un carré que pour/? = 2, 3, 7.

En effet, pour p impair et égal à (2^ + 1), on déduit

par suite, puisque les facteurs du premier membre sont premiers entre eux.

l'un d'eux est un carré impair et l'autre le produit par p d'un carré impair;

donc

mais, en prenant le signe +, l'équation possible pour q = i est impossible pour 7 > I, puisque le second membre est --^ 2 (mod. 8). D'autre part, en prenant le signe — , on a

et, par suite,

Exemple III. — Existe-t-il un nombre premier/?, tel que (2^*"* — i) soit divisible par/>*?

4a4 LIVRE III. — LA DIVISIBILITE ARITHVÉTIQCE.

Exemple IV. — Si a est un entier non divisible par le nombre premier />, on a la congruence des indicateurs

9(a/>) = ç)(a) (mod./>),

analogue à celle de Fermât.

Exemple V. — Restes des nombres parfaits pairs, — Nous avons vu que tous les nombres parfaits pairs sont choisis parmi les nombres (n**208)

Cp = •2/*-i(>iA» — i),

dans lesquels le second facteur est premier; par conséquent l'exposant/» est aussi premier.

On voit que : Tout nombre parfait pair, autre que d, est divisible par 4, et que tout nombre parfait pair autre que 6 et a8 est divisible par i6.

Tout nombre premier p plus grand que 3 est de Tune des formes (6ç + i) ou (6^ H- 5); d'autre part, on a

7} r — I (raod. 9), 967^l i (mod. 9); par suite, pour

p = (îq-^\, €p =\{-i—\) — i (mod. 9), p—^q^S^ €p 11(2* — i)-^i (mod. 9);

donc : l^out nombre parfait pair, autre que 6, est un multiple de 9 augmenté de i.

Il en résulte que si Ton fait le total des chiffres d'un nombre parfait autre que 6, puis la somme des chiffres du total, et ainsi de suite, on arrive à 10 ou à un multiple de 10 (Kraft, Novi Comni. Petrop., 1/3^).

On a de même, pour le module 7, la congruence -i'e^i; par suite, pour

/> — 6<7-+-i, Cp'--^ vi^'x — 1)-— -hi (mod. 7), p=r6y-+-5, é?y, = 9.(2^— i) - — f (mod. 7);

donc : Tout nombre parfait pair, autre que -28, est un multiple de 7 augmenté ou diminué de i.

De même, pour le module i3, la congruence 2*~ — i, appliquée aux nombres des formes