ABC

et puisque n est impair, un seul dos nombres A, B, C. . . . est double d*un impair, A par exemple, et les autres B, C, ... sont impairs. Mais, puisque a, 6, c, ... sont impairs, on a

A=~a-f-i, B — j3-+-i, C li^Y"^^» ••• (mod. 2);

il faut donc que P, y» • • • soient pairs et que (a -+- 1) soit le double d'un nombre impair; donc, si l'on remplace a par (4» -+- 1) et p, y, ..., par ap, 2Y, . . ., on a

(2) n r= a^a-»-i6«PcîY...:

d'autre part, a étant impair, on ne peut faire que les deux hypothèses «^4-1 et a= — I (mod. 4); par suite, a est un nombre premier de

forme (4 y -H 0*

D'ailleurs les nombres p, y, . . . ne peuvent être tous nuls en même temps; car on aurait, dans le cas contraire,

^a^= ou a«(2 — a) = i,

ce qui donDerait a = i cl n = i. D*où résulte encore cette proposition : // n'existe aucun nombre par/ait impair de forme (4^-^-3).

Exemple VIL — S'il existe un nombre impair et parfait, ce nombre est divisible par quatre facteurs premiers inégaux deux à deux.

Exemple VI/l. — Soit ni la somme des facteurs premiers de n, en y comprenant Tunité; soit /ij la somme des facteurs premiers de /ii, et ainsi de suite. Démontrer que le résultat final sera toujours égal à 3 ou à 6.

( Oltramare.)

230. Théorème de Fermât généralisé. — Euler a donné une généralisation du théorème de Fermât, sous la forme suivante :

Si a et n sont premiers entre eux, la puissance de a, dont Vexposant est égal à ^indicateur de n^ est congrue «4-1 pour le module n.

En effet, on a pour/? premier, non diviseur de «,

si Ton élève à la puissance d'exposant p les deux membres de l'égalité précédente, en tenant compte des restes du triangle arithmétique pour le module p (n" 228), il vient

si nous élevons encore les deux membres à la puissance d'exposant/>, il vient

et ainsi de suite. Donc, en posant V =/?^. on a

a9^^*'r-ii (mod. P).

Ainsi le théorème est démontré pour une puissance quelconque d*un nombre premier. Cela posé, désignons par P, Q, R, . . . des puissances de nombres premiers inégaux deux à deux, par n le produit PQR . . . , et par a un nombre premier à n et, par conséquent, premier à chacun des facteurs de n ; on aura

a?<PJ — I, (mod. F), a?(Q' — I, (mod.Q), a?<RV-i, (mod. R),