CHAPITRE XXIII. — LES RESTES

mais, par la formule de rindicaleur d^un produit (n° 219),

par suite, en élevant les deux membres des congrueïices précédentes à une certaine puissance, de manière à obtenir l'exposant cp (n),

on trouve

a^^f^^—.i (mod. P),

^ç(n)r=, (mod.Q),

a?<«^:H=i (mod. R), .

puisque les modules P, Q, R, . . ., sont premiers entre eux deux à deux (n** 225), on déduit

a?'"^?^ I (mod. /i).

C'est dans celte congruence que consiste le théorème de Fermât généralisé par Euler (*).

231. Deuxième démonstration des théorèmes de Fermât et d'Euler. — Désignons par p un nombre premier, et par a un nombre non divisible par/?, et par conséquent premier à /?; les restes des termes consécutifs de la progression arithmétique

a, ia^ 3a, ..., (/> — \)a

par/7 sont inégaux deux à deux et reproduisent dans un certain ordre tous les nombres entiers

Soit, pour le module /?,

{p'-\)a~rp-x\

en multipliant membre à membre

{p — \)\aP-^^^{p — i)\^ (mod./?).

(*) Euler. Theoremataarithm. nova meth. demonstr.; {Comm. nov, Ac, Petrop., t. VIII, p. 74).

4'i8 LIVRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.

En divisant les deux membres de la congruence par la factorielle {p — i)!, nombre premier à /?, on retrouve le premier énoncé du théorème de Fermât,

aP-^^-\ (mod. /)).

Pour retrouver le second énoncé de ce théorème, il suffit de remarquer que si a n'est pas premier au nombre premier /?, il divise /? ; on a donc, pour toute valeur entière de a,

aP -a (mod./?).

Pour déinonlrcr le théorème d'EuLER, désignons par a et /i deux entiers premiers entre eux^ remplaçons successivement x dans la forme ax par les N nombres

a\. ^2) Qzt • • . . ds

d'un système complet de restes premiers au module /i, de telle sorte

que Ton a N = '^ (ai). Soit donc

aai ■-. bi aat :— b^

aas - by

les nombres />|, />.j, . . ., b^^ forment un système complet de restes

(n'^ 226). On a donc,

aiaiai,..a\i ^i^j^3.../y>- (mod. n),

attendu que chaque facteur du premier membre est congru à un facteur du second. Si l'on multiplie membre à membre |les conjçruenccs (i), on obtient

ei en divisant les deux membres de cette congruence par le second membre, premier au module, on a

a^'"^^^ 1 (mod. n).

232. Perfectionnements du théorème d^uler. — Si nous désignons