CHAPITRE XXIII. — LES RESTES

par P, Q, R, ... les puissances des nombres premiers contenues dans un nombre /i, nous avons les congruences

(mod.P),

(mod. Q),

(inod. R),

Cependant, si l'un des nombres P, Q, R, ... est pair et égal à 2°*, avec a> 2, on doit remplacer l'Indicateur par sa moitié, puisque Ton a, pour tout nombre impair a y

a' *^ I (mod. a*).

Cela posé, avec cette restriction que l'on remplace 'f (2*) par jç(2*), lorsque l'on a a>'2, désignons par '\(^n) le plus petit comultiple des indicateurs de P, Q^ R, ... ; nous aurons

aY'*"^ - I (mod. P), a¥'''> . -■ I (mod. Q).

a;\n).^ I (mod. Il),

et, puisque les modules sont premiers entre eux, deux à deux,

a'!' «' := I (mod. /i).

Nous donnerons au plus petit comultiple '}(/i) des indicateurs de P, Q, R, ... le nom iï indicateur réduit de n. Pour n égal à 2, à 4î à une puissance quelconque d'un nombre premier impair, ou au double d'une puissance d'un nombre premier impair, l'indicateur réduit tj/ (ai) est égal à 'f(/î); mais, dans tous les autres cas, l'indicateur réduit est une partie aliquote de l'indicateur.

Par conséquent : 5/ aetn sont premiers entre eux, la puissance de «, dont l'exposant est égal à V indicateur réduit de /?, est congrue à*-i- i pour le module n.

On peut donner au théorème d'EuLER un second énoncé qui s'applique à tous les entiers x, premiers ou non, au module /?. Désignons par X le plus grand des exposants des divers facteurs premiers contenus dans/?, et par/? l'un quelconque des facteurs

43'2 LIVRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITU MÉTIQUE.

On démontre de la même façon que les restes de A^ x^ par 4 sonl tous égaux à 2 si rjr est pair, et ceux des différences d'ordre supérieur sont nuls. En particulier, les restes de Ax^ par le module 2 sont tous égaux à i.

2^ Dans l'application de la seconde méthode, nous prendrons pour module un nombre p impair et premier, et nous calculerons les restes de A''""* xP"^ , pour des valeurs entières consécutives de x.

On a, par une formule du calcul des différences

(I) AA»- ix/'-»(/? — 1)1;

ainsi les différences d'ordre (/? — i) sont constantes, quelle que soit la valeur de x. Pour déterminer cette valeur constante, reprenons la formule symbolique (n" 76)

Aa'-1mo%^(m — OA^-t, il vient, pour jr = o

en appliquant le théorème de Fermât aux puissances du second membre, on a

ou, plus simplement,

l/'-ixP-^ — —i (moâ. p) ;

on comparant ce résultat avec celui de l'identité (i), on a

(/? — i)î - — I (mo(J./>).

Ainsi, pour tout nombre premier/?, le produit de tous les entiers inférieurs à/>, augmenté de i, est divisible par/>; c'est l'énoncé du théorème de Wilson, sur lequel nous reviendrons plus loin.

3^ Considérons, plus généralement, les restes de A**"* j:^ par un module quelconque n. Par le dernier théorème du numéro précédent, on peut supposer q égal au plus k (n — 1) ; si Ton suppose n composé el !> 4? on peut supposer q <. n — i , et alors les restes sont nuls; mais si n est égal à un nombre premier/?, et si l'on fait

q = h(p — i)-hr, on aura

x'r-zx^ et iP-'i x9 ^ IP-^ x^ (mod./>);