CHAPITRE WIII. — LES RESTES
lorsque r<Cp — i , la différence A^"* * xf est nulle ; lorsque r=p — i , on a comme au 2®, A^""* x^ ^ — i j mais alors (p — i) est un diviseur de q.
En résumé, les restes de ^'^"^ x^ par n sont constants. Ils sont égaux :
A — I , si n est un nombre premier tel que (/i — i) divise q ;
A -h 2, si /i est égal à 4 6t si ^ est impair;
A o, dans tous les autres cas.
234. Théorème de Clausen et de Staudt (>). — On a, pour les nombres de Bernoulli, V expression
dans laquelle on désigne par Ay un nombre entier et par 2, 6, c, . . . , / tous les nombres premiers qui surpassent de i tous les diviseurs de q.
En effet, nous avons trouvé pour By l'expression
^ ai Af A^ . Af7
D'après les résultats précédents, les fractions du second membre se réduisent à des entiers', lorsque le dénominateur n est un nombre composé > 4? ou lorsque n est un nombre premier tel que (n — i) ne soit pas diviseur de q. D'ailleurs, pour ai =: 4, la fraction — {A3 se réduit à un nombre entier, puisque Ton doit supposer q pair, attendu que les nombres de Bernoulli d'indice impair sont nuls, à l'exception de B| . Il ne reste donc que les fractions dont le dénominateur est un nombre premier/? qui surpasse de i tout diviseur de q] dans ce cas, la fraction se réduit à un entier diminué
de -• c. Q. F. D.
(*) Staudt, Journal de Crelle (t. XXI, p. 7a). — Clausen, Astronomische Nachrichten, La démonstration du texte est plus simple que celles que nous arons publiées dans Mathesis (t. III, p. a5, et t. XI, p. 9) et dans le Bulletin de la Société mathématique,
434 LIVKE III. — Li OIVISIIILITÊ AlITHMITIQrE.
Od a, pour les preinî('re> valeurs de q.
Ao = Aj = Ai = . . . ^ Ajj = — I, Aif-ri = o.
A,. = - 2. ' Aîi = - »6576,
A,i = — 6, A,, =— i4iSSi8,
Al, =— 56. ' A,% = — 27298130.
Ajv— - 5>8. A,.»—— 601 S 80875.
Ais= — 6193. I Aij =— I 5ii63 15766.
Exemple /. — Si ^ esl un nombre premier el (19 — i) un nombre composé, le dénominateur de B*^ est G.
Exemple IL — Si 9 et q «ont premiers entre euv le dénominateur de B)^^' est divisible par le siviême du proiiuit des dénominateurs de B^f et de Bi^- 4 voir une dém<»nstration de M. Radicke dans la youvelle Correspondance mathématique, t. VI. p. 69: iJî^So'.
235. Théorèmes de Oenocchi et d'Adams. — Od déduit immédiatement du théorème énoncrdans le numéro précédent que le produit
est entier, quel que soit l'entier x. Il suffit de démontrer que le coefficient du nombre B^ est divisible par tous les nombres qui surpassent de i tous les diviseurs de q. Or, pour p premier, on a
^,j-/»-i — I . ; o <mod./>\ et, puisque «j> — i) divise y, on a
Xix'f — 1 1 1^ o ^mod./>).
En parliculier, pour jr = a, les nombres
Gy = -21 I l'f) By.
sont entiers. Ce théorème a été énoncé, mais démontré autrement, par Genocchi ^' k Nous en avons donné une autre démonstration au n** 112.
(•) Genocchi, Sur les nombres de Bernoutli {Ann, de Tortolini, 1802 ). Voir aussi iVouv. Ann. de Math. y 1877; p. 157.
