CHAPITRE WIII. — LES RESTES

M. Adams a calculé, parTemploi du théorème de Staudt, la Table des nombres de Bernol'lli jusqu'à B124 (*). Pour vérifier ces calculs vraiment laborieux, puisque les numérateurs des douze derniers de ces nombres ont plus de 80 chiffres, Tautcur a énoncé el démontré le théorème suivant : Sip > 3 est un nombre premier, le numérateur de Bj^ est divisible par p. De plus, il a observé que, si p désigne un nombre impair et premier, diviseur de q, et non diviseur du dénominateur de Bj^, le numérateur de Ba^ est divisible par p ; mais Tauteur ajoute qu'il n'a pas obtenu la démonstration de cette proposition, bien qu'il ne doute pas de son exactitude. Nous allons donner la démonstration du premier théorème, en réservant pour le second volume la démonstration du second théorème de M. Adams.

On a, par ce qui précède,

'' 'X(\ - 'IP ) {\ -r 'XI' )

D'ailleurs G^^ est entier, impair, el divisible par /?, comme cela résulte d'une formule du n° 14î2; mais /? ne peut diviser le dénominateur de la fraction précédente ; donc p restera en facteur dans le numérateur de B^;?.

Exemple /. — Démontrer, pour/? premier, la formule

nOn^P 1 "^C* — O^/i (mo<l. p).

236. Restes des nombres d'Euler. — Nous avons vu (n" 1 io) (|ue les nombres d'EuLKR sont donnés par la formule récurrente

Les nombres d'indice impair sont nuls, et les nombres d'indice pair sont entiers et impairs; de plus, Scherk (^) a démonlréque les nombres d'indice pair sont terminés alternativement par les chiffres I et 5. Ces propriétés sont des cas particuliers des suivantes. En tenant compte des résultats obtenus pour les restes des termes du

(') Adams, Journal de Bore f tard t, t. LXXXV, p. 269.

(■) Journal de Crelle, t. LXXIX, p. 67. — Four plus de développements, voir nos articles dans le Bulletin de la Société mathématique.

triangle arllhméliqae pour un module premier (n® 228), la formule précédente donne, en supposant n=(p — i) ei p premier,

Ep i-h Ep 3H- Kp i -+-... -f- E,-i- Eoi^so (mod. />);

on a donc cette proposition : 5/ p est un nombre premier, la somme des nombres eulériens dont V indice ne surpasse pas p est divisible par p.

De même, on obtient les formules

Ep+.i CH Ej J E^+,-^E* f ^^^^ p^

et, en général, pour un nombre quelconque /r, entier et positif,

Eîn-^A(p-i)^ Eîrt (mod./)).

Par suite : Les restes des nombres eulériens, suivant un module premier p, se reproduisent périodiquement dans le même ordre, dans une période de {p — i) restes.

Nous avons étendu ces propriétés aux nombres eulériens des divers ordres, et à un grand nombre de coefficients différentiels. Nous appelons nombres eulériens d* ordre a, en supposant a entier et positif, les nombres entiers donnés par la relation symbolique

Ea.« «^[K' ^ E'-+- E''-4- . . .-r Eta)]/!,

dans laquelle on remplace, après le développement, les exposants de E', E", . . . par des indices. On démontre, comme ci-dessus, la

relation

l'^a,fn-/j./i-r, = Ka,/t ( mod. p).

237. Restes des sommes des puissances semblables des entiers inférieurs à un nombre premier. — Désignons par S^ la somme des puissances d'exposant n des (j) — i) premiers nombres entiers, cl par/? un nombre premier.

Nous allons démontrer le théorème suivant : La somme S^» est congrue à — i ou à o^ pour le module p, suivant que n est ou n^est pas multiple de {p — i). En effet, si n est un multiple de