CHAPITRE XXIII. — LES RESTES

(/? — i), tous les termes de S;, sont congrus à i , d'après le théorème de Fermât, et, puisque la somme a (/> — i) termes, on aura

S;, r= — I (inod. p ).

Pour le second cas, où n n'esl pas multiple de (/> — i), considérons la formule symbolique [n** 132, formule (3)]

si l'on y remplace x par/>et Su Y^vi^p — »)>»! \ienl, en supprimant les multiples de/?,

Mais S| est divisible pary>; par suite, en faisant n = 2, on en déduit que S.2 est aussi divisible par /?, puis S3, Si, ..., jusqu'à Sp-o.

On arrive aux mêmes résultats, en partant de la formule symbolique (nM34)

on multiplie les deux membres par//!, et Ton sait que // ! B/< est un nombre entier.

238. Théorème de Wilson. — Nous avons vu (n''"227 et 233) que, pour un module/7, impair et premier, les entiers inférieurs à/; peuvent être associés deux à deux, de telle sorte que leur produit soit congru à i pour le module/?. D'autre part, à Texception des nombres i et (/> — i), aucun autre nombre ne peut être égal à son associé; ainsi les nombres

s'associent deux à deux, leur produit est congru à -h i pour le module/) ; on a donc

(/> — 2/ -.-+- 1 (mo(l./>).

En multipliant les deux membres par (/? — i), il vient

(/> — i)!-f- 1 s== o (niod./?;.

En d'au 1res termes, le produit de tous les entiers inférieurs à un nombre premier py augmenté de i, est divisible par p (*).

Lorsque p n'est pas premier, mais >- 4, le produit des(p — 2) premiers nombres est divisible par p, — En effet :

1° SI/? n'est pas un carré, il est décomposable en un produit de <leux facteurs inégaux contenus dans la suite des (/? — 2) premiers nombres;

2° Si /; ^ 4 est égal à un carré w^, la factorielle (/? — 2) ! contient les deux facteurs ai^ et 2/1^ ; elle est donc divisible par y? ;

3** Si /? = 4î le produit des deux ou des Irois premiers nombres est congru à 2 pour le module 4-

Le théorème de Wilson donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit premier; mais il est inapplicable en pratique. Cependant, on simplifie le calcul en remplaçant les nombres de la seconde partie de la factorielle {p — 1)! par leurs compléments à/>; on en déduit d'ailleurs quelques conséquences. Mous considérerons deux cas, suivant que le reste du nombre impair et premier/? par 4 est i ou 3.

1° Si l'on suppose /> = 47 -t- 3, on a

[(a^H-i)!]' — I — o (mod./?).

Par conséquent, pour que /> = 4 7 -t- 3 soit un nombre premier, il faut et il suffit que le reste de la division de la factorielle (27-1-1)! par p soit db i . Cependant, on peut déterminer dans quels cas le reste est -f- 1 1 et dans quels cas il est égal à — i (^).

2** Si Ton suppose/? '=^ ^q -\- \ ^ on a

[(2 7)!]'-T- I — o (mod./?).

Par conséquent, pour que p^=^ ^q -^\ soit un nombre pre-

(*) Waring a ciioncc ce tiicorémc, sans démonstration, dans les Meditationes algebraicœ, en Pattribuant à Wilson, Tun de ses élèves. Waring avoue que la démonstration lui parait d'autant plus difOcilc qu'il n'y a point de notation pour désigner spécialement les nombres premiers. La démonstration du texte est due à Gauss {Disq. An'thm.j n" 77); celle du n*» 233, qui repose sur le calcul des différences, est une simplification de celle de Laorangr.

( ' ) « Il n'est pas facile de dire a priori lequel de ces deux nombres ( 2 ^ 4- 1 ) ! =b 1 est multiple de p. » (Lebesoue, Introduction à la Théorie des Nombres, p. 82). Nous montrerons plus loin qu'il faut prendre + 1 ou — i, suivant que le nombre des non-résidus quadratiques de /?, compris entre 0 et \p, est pair ou impair.