CHAPITRE \XIII. >- LES RESTES
niier, il faut et il suffit que le reste par p du carré de la factorielle (2*7) ! soit égal à — i . De cette proposition, il résulte encore que tout nombre premier de la forme {^q -\- i ) divise (^^-f- 1), c'est-à-dire une somme de deux carrés premiers entre eux.
239. Restes de la progression géométrique. — Soit /i un module quelconque ; désignons par if l'indicateur réduit et par a un nombre premier à n ; nous allons étudier les restes des termes de la progression géométrique
de raison a, divisés par n. D'abord, on ne trouve aucun reste nul, puisque a et /? sont premiers entre eux; d'ailleurs, tous les restes sont premiers à n, et puisque leur nombre ne peut surpasser l'indicateur if{n) de /?, on trouvera deux puissances différentes, a* et a^+'j donnant le même reste. On a donc
a-^a' — a* (inod. /i),
cl puisque a* est premier au module, il vient
a' == I (mod. n).
Il existe donc une puissance de a qui donne i pour reste, ce qui résulte d'ailleurs du théorème d'EuLER. Mais, parmi toutes les puissances de a qui donnent i pour reste, la plus importante à considérer est celle du plus petit exposant, en ne tenant pas compte de l'exposant zéro. Soit donc g le plus petit exposant tel que l'on ait
a^ — I (mod. n);
on dit alors que a appartient à l'exposant minimum g pour le module n ; mais, pour la rapidité du langage, nous dirons que g est le gaussien de a pour le module n.
Les g premiers restes des puissances,
sont tous différents, car si l'on avait
rt*-»-' == a' (mod. h)j
on en déduirait a' ^ i, et ^ ne serait pas le plus petit exposant
4io LIVRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
qui correspondrait au reste i . L'ensemble des restes de la suite (i), tous distincts, et en nombre g s'appelle la période du nombre a pour le module n. Les restes suivants, des termes de la progression géométrique, reproduisent indéfiniment la même période; od a, en eflel,
rt^£3i, a*"-»-' — a, rt^-*-5 -1 rt', ... (mod. n).
En général, si l'on désigne par q le quotient et par r le reste de la division de s par le gaussien gy on a
s=zqg-Jrr et a^—an^a^r~^a^ (mod. n).
Ainsi deux puissances a^ et «'sont congrues ou non pour le module 72, suivant que leurs exposants s ei t sont congrus ou non, pour le module g^ gaussien de n. En particulier, si l'on a a*= i le reste de s par g est égal à o; il en résulte que les exposants des puissances de a qui donnent i pour reste sont tous les multiples du gaussien. Mais, par le théorème d'EuLER perfectionné, on a
a'^{n) -, (inod. n).
Par conséquent, le gaussien de a pour le module n est un diviseur de ^indicateur réduit de n, et les exposants des puissances de a qui, divisées par n, donnent pour reste i, sont tous les multiples du gaussien.
Exemple /. — Pour un même module, le gaussien du produit abc . . . de nombres premiers au module est un diviseur du plus petit comultipic des gaussiens des facteurs.
Exemple //. — Si l'on désigne \id^T xabcd, . . . et A, B, C, D, ... des nombres entiers, et si l'on pose
oix) = Aa* -T- B^' -^ Ce* -+- Dd'-{-, ...
on a, pour tout nombre premier/?, quelle que soit la valeur du nombre A, entier et positif, la congruence
cp[x H- /i(/? — i)J — (p(;r) (mod./?).
Exemple fif. — Soit ^ le gaussien de a pour le module premier/?, démontrer que la somme des puissances ^'«"•» des termes de la période est congrue à o ou à ^, suivant le module ^, selon que l'e\posant q est ou n'est pas multiple du gaussien g.
