CHAPITRE XXIII. — LES RESTES. 4U

240. Réciproque du théorème de Fermât. — Soil un nombre impair quelconque n; nous avons vu que la diflerence n — «p(/i) est toujours positive, et n'est égale à i que pour n premier; d'autre part, l'indicateur réduit ^(n) n'est jamais supérieur à l'indicateur o{n). Par conséquent, lorsque le gaussien de a pour le module n est égal à (n — i), il en résulte que n est nécessairement un nombre premier; mais, si l'on a la congruence

a"-^—. I (mod. n),

les exposants des puissances de a congrues à l'unité, qui seraient inférieurs à (ai — i), ne pourraient être que des multiples d'un certain diviseur de (/? — i); on a donc la proposition suivante, que Ton doit considérer comme la réciproque du théorème de Fermât : Si a^ — i esl divisible par n, pour x égal à (n — i), ^^ n^ est pas divisible par n pour x égal à une partie aliquote de (n — i), le nombre n est premier.

Nous avons énoncé pour la première fois ce théorème en 1876, au Congrès de l'Association française pour l'Avancement des Sciences, à Clermonl- Ferrand, dans une Note intitulée: Sur la recherche des grands nombres premiers. Nous en donnerons, dans le second volume, un grand nombre de corollaire*^.

Exemple I. — Soit

les diviseurs de (/i — i) sont

10 o^ o3 0^ lS 1I6

j iS) ^) ^1 'v ^) •**« X

Si l'on calcule les restes par n des puissances de 3 dont les exposants sont égaux aux termes de la suite précédente, en observant que chaque reste s'obtient en divisant par n le carré du reste précédent, on trouve

et, puisqu'il n'y a aucun reste égal à -f- 1 avant le dernier de la suite, on en conclut que a>*-f- 1 = 65537 est un nombre premier.

4i2 LIVRE m. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.