CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES

L'opération se trouve nécessairement limitée après un nombre fini (le divisions; on a ainsi

On dit alors que Ton a développé x en fraction continue ; les entiers Ço^ Çi, rj2f • • •• 7/1 sont positifs et s'appellent quotients incomplets; le premier peut êlre nul, mais tous les autres sont au moins égaux à i, et le dernier à 2, car si Ton avait y„ = i, on pourrait remplacer le quotient précédent q„i par (qr^^^-n 1). On dit encore que les fractions

sont les fractions intégrantes; les nombres Xi, X2, . . . , X/, sont les fjuotients complets. Les fractions continues successives formées de 1,2, 3, . . . , n fractions intégrantes sont appelées fractions conK^ergentes; mises sous la forme de fractions ordinaires, ce sont les réduites successives. On a d*ailleurs ce théorème :

Tout nombre positif, entier ou fractionnaire, est, d'une seule manière, égal à une fraction continue.

Considérons trois nombres quelconques positifs x, y, z, rangés par ordre de grandeur croissante. Si le premier quotient incom- [)lel de X et de z est le même, ce sera aussi le quotient incomplet dey; on aura

et 1rs quotients complets ^1, Vi, z^ seront rangés par ordre de grandeur décroissante. De même, si X\ et z^ ont le même quotient incomplet q^, ce sera celui de Vi, et l'on aura

Xi= qx-r- >

yx-^qx-^ ^ '

les quotients complets :r2, j'2, ^2 seront rangés par ordre de grandeur croissante, et ainsi de suite; d'où résulte ce second théorème :

(It LITBC III. — L% »IT|$|||LITC âBITBBÉTIOrC.

Ujr%qu^ troi% nomhre$ positifs , rangés par ordr^ dtf srand^ur, sont d^^^lopp^s en fractions continues. Us premiers quotients inconipUts qui sont communs aux deux fractions extrêmes sont aussi les premiers quotients incomplets du nombre intermédi/iire. et les quotients qui complètent les trois fractions sont aussi ran^^s par ordre de grandeur.

D'ailleurs, c^â quolienls complets sont rangés dans le même (ftAttt de jrrandeur que les nombres donnés • x. r. r •. ou dans Tordre contraire, suivant que le nombre des quotients incomplets communs est pair ou imfjair,

tSfô. Calcul dat réduites. — l>^s premières réduites de x soni

I qx qiqt- i

nous les désignerons respectivement par

^'» g\ gl

Chacune des premières réduites peut se former en multipliant les deux termes de la précédente par le quotient incomplet auquel on s^arréte, et en ajoutant respectivement les deux produits obtenus aux deux termes de la fraction antéprécédente. Ainsi Ton a, pour les premières valeurs de/?,

^1 . \ fi»~ 1p fi>-\ -^ //'-î'

( gi>'- ^pgp-i — gp-i-

On démoiilrc que ces formules sont générales et s*appliquent pour toutes les valeurs de />, en remplaçant

1p par qp^ —- '

qp^\

Par conséquent, les numérateurs et les dénominateurs des réduites successives sont des entiers positif s et croissants ; nous démontrons plus loin que les réduites calculées par ces formules sont des fractions irréductibles. D^autre part, si Ton remplace le