CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES

quolîent incomplet qp+K par le quotient complet Xp^^j on a, pour X, l'expression

Pour les théories qui vont suivre, il est utile d'indiquer une forme spéciale du développement d'un nombre en fraction continue. Puisque le dernier quotient q» (complet et incomplet) est plus grand que i, on peut le remplacer par

et augmenter ainsi le nombre des fractions intégrantes de la fraclion continue. La valeur de la fraction continue reste la même, mais on a introduit une fraction convergente intermédiaire

en — on— 1

cependant, on doit observer que cette transformation ne peut s'effectuer que pour le dernier quotient, complet et incomplet, et qu'on ne peut l'appliquer aux autres quotients incomplets. Par suite : Le nombre des fractions intégrantes d^une fraction continue est, à volonté, pair ou impair.

!2i3. Différence de deux réduites. — La différence A de deux réduites consécutives a pour expression

^ fp n fn lp-^\fn-^fn-\ __ fp '* ffp-^\ Sp <lp^\Sp-^ f?p-\ Sp d'où l'on tire

fp Sp fp^\Sp-^\

fp-\Sp-\ î.

fp f?P \ '

par conséquent, les différences A^ et Ap, ont des numérateurs égaux et de signes contraires; mais, pour les deux premières réduites, ce numérateur est i ; on a donc

(0 fp-xgp-fpgp-i^i—^y^

En d'autres termes, la différence de deux réduites consécu-

-ji t:»ic ;:: — :,* i r'» -*:i:i:Ti »i:T£ii?:iTt

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A'j li^u 4^ c/jfXjfueriCfr ji U pn^mirre réduite, on f*eat comiBest*rr ;■ uii^ i^doiUr q»j^lcoD'jue: on a donc c^elte p-n>p-:»*îlîon :

/>ci diffir^nc^ d^ d^uz réduite % quelconques d'une fraction continua e$i égaU a Ux somme aliernte de fractions décroissantes dont U$ numérateurs sont égaux à i.

2it' Vn^gigîèté% des réduite». — De la formate i du namën.» pr^c^d^fjl. on déduit que tout co^Ji\i*eur Ak fp el Sp. ou de y^ ^ifp^%- ou encore de ;?'^ et de gp-% divise mi. Par consêqaeot. on a i;etle proposition :

Lf']f réduite 9 d' une fraction continue sont irréductibles: les numérateurs, ainsi que les dénominateurs de deux réduites consé cutis; es, sont [premiers entre eux,

V\\\s {^«'néralenienl, considérons une réduite k fp \ gp* de rang quelconque', et désignons par Xp le quotient complet correspondant; nous avons, par la formule ^2.) du n^^Hij en remplaçant Xp^^ \i'Ai(rp : rp^^),

fpfSp-^ rp^xgp-\^

mais les deux termes de la valeur de x sont deux fonctions linéaires et homogènes de Vpi^\ et de r^, dont le déterminant des coefficients est égal à db 1. Donc (n° 195) :