CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES. 4i

Si Von remplace un quotient incomplet d^une réduite par un quotient complet égal à une fraction irréductible y la réduite obtenue est irréductible.

Nous avons vu que toute réduite est égale à une somme alternée de fractions décroissantes ; il en est de même de la dernière, égale à X] d*où il résulte que les réduites de rang impair sont croissantés et ne surpassent pas la dernière; les réduites de rang pair sont décroissantes et ne sont pas plus petites que la dernière.

Si Ton figure les réduites par des longueurs portées sur une droite à partir d'un point fixe, on a une représentation géométrique très simple des propriétés précédentes. Nous pensons, avec Claude Bernard, que « la Science doit toujours expliquer le plus obscur et le plus complexe par le plus simple et le plus clair ». On démontre de la môme façon que la somme des n premiers termes d'une série alternée dont les termes décroissent en valeur absolue jusqu'à zéro a une limite finie et déterminée, comme la série harmonique alternée

bien que la somme des termes positifs soit infinie, ainsi que celle des termes négatifs. Par le même procédé, on démontre encore qu'une série de cette nature, que l'on appelle semi-convergente^ a pour limite un nombre quelconque, positif ou négatif, lorsque l'on modifie convenablement l'ordre des termes, ou s'approche alternativement de deux nombres quelconques; dans ce dernier cas, la somme, quoique finie, n'a pas délimite déternnnc(î.

245. Approximation des réduites. — La difTérence entre une réduite quelconque et la valeur d'une fraction continue ne surpasse pas, en valeur absolue, la différence entre cette réduite et la suivante. On a donc, en valeur absolue,

^ fp ^ fp-*-^ fp .

éTp gp^i gp '

mais le second membre est une fraction dont le numérateur est égal à ± 1 et le dénominateur égal au produit gpgp^h* Par conséquent, la différence entre une fraction continue et l'une de ses réduites ne surpasse pas, en valeur absolue, une fraction ayant pour numéra-

leur FuDité, et pour dénominaleur le produit du dénominateur de la réduite par celui de la suivante. A fortiori, la valeur absolue de cette différence est plus petite qu'une fraction de numérateur i et dont le dénominateur est égal au carré du dénominateur de la réduite.

Si une fraction quelconque approche plus d'une fraction continue qu'une réduite {fp : ffp) de rang quelconque, ses deux termes sont respectii^ement plus grands que ceux de la réduite considérée.

En effet, celte fraction est nécessairement comprise entre celte réduite et la précédente; par conséquent, si nous la développons en fraction continue, ses premiers quotients incomplets seront 9o? q\ t 72? • • • ? 7/>-< î le quolienl qui la termine sera > qp ; donc ses deux termes sont plus grands que ceux de {fp : gp).

On peut donner plusieurs autres expressions de la difTérence entre une fraction continue et ses réduites. Posons

et remplaçons x par sa valeur tirée de la formule (a) du n** 2i2, il vient

érp{jrp^l£^p-^ fTp-t) gp-X^J^p^lgp-r-ffp-iy

par suite, si nous désignons par 0 un nombre compris entre o et i ,

0,,= ^- l)/- — et 0„ = - —'—- Opf

r* p èP'*'P+t

Nous allons chercher la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction donnée (/: g) soit l'une des réduites du développement d'un nombre x en fraction continue. Développons la fraction (flg) en fraction continue, et désignons par (p — 1) elp les indices des deux dernières réduites. Pour que x admette la réduite (fp l gp)j il faut et il suffît que x soit compris entre celle réduite et la précédente ; par suite, si, dans la valeur de o^, on suppose Xp^t >► 1, on aura, en valeur absolue,

fp . (-^^P

(2) ^-'if<

ëp Sp^ëp-^ëp-x)