CHAPITRE XMV. — LES FRACTIONS CONTINUES
En particulier, cette in('j;alité est vérifiée, lorsque
lléciproqiieineut, si l'inégalité (3) est vérifiée, il en est de môme (le riné^alité (2); on lire donc de la formule (i) une valeur de ./•/;+i; l^lus grande que i ; on aura, par conséquent.
Cependant, si le signe du second membre de Tinégalité (2) n'était pas le même que celui du premier, on augmenterait d'une fraction int^'grante le développement de (y : g\ ainsi que nous l'avons expliqué au n° 2i2.
Donc : Pour qu une fraction donnée {/ 1 g) soit l'une des réduites d'un nombre x développé en fraction continue, il faut et il suffit que Von aitj en valeur absolue,
f^P t-^iA^p-^ ë^n-^\)
en désignant par gp^K ^^ gp l(-S dénominateurs des deux dernières réduites du développement de (/: g) en fraction continue,
2i6. Renversement des fractions continues. — Nous dirons que Ton r(*nverse une fraction continue lorsque Ton écrit tous ses quotients incomplets dans Tordre opposé an sens ordinaire. On a, par la loi (le formation des réduite*^.
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si Ton remplace successivement, dans les seconds membres, les fractions par d'autres <'*quivalcntes, Tapplicatitm répétée de ces formules donne
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45o LIVRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
Par conséquent, lorsque l'on renverse r ordre des quotients incomplets d une fraction continue, la fraction continue renversée est égale au quotient du numérateur de la dernière réduite par le numérateur de la précédente, et V ai^a ni-dernière réduite de la fraction renversée est égale au quotient des dénominateurs des deux dernières réduites de la fraction donnée.
2i7. Addition des fractions continues. — Considérons deux fractions continues
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qn s,,
plaçons la seconde à la suite de la première en ajoutant le premier quotient incomplet Sq de la seconde au dernier, qr,,, de la première • nous formons ainsi une fraction continue
dont le nombre des fractions intégrantes est (n -[-/>), en considérant (qn-h^o) comme un seul quotient incomplet. Nous allons calculer les deux dernières réduites de cette fraction continue, au moyen des deux dernières réduites de chacune des fractions continues données. En effet, si Ton remplace
qn par q^-^r^,
s p dans la loi de formation des réduites (n** 242), on trouve
r n-^i-p = Jn ^1) -î- Jn—\ f in ^/î4-/. = gagp -H gn~\f'p \
d'ailleurs F„^^ et G,i4.p sont premiers entre eux, puisque la réduite {fp • ^p) ^st irréductible (n° 2ii).
On peut supposer ^0=0; alors les formules précédentes, que nous appellerons formules d' addition des fractions continues.
