CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES. 45r
permettent de calculer les réduites d'une fraction continue, en la décomposant en deux ou plusieurs fractions continues successives.
218. Multiplication des fractions continues. — Etant donnée une fraction continue, on peut la prolonger, autant de fois qu'on veut par des fractions continues identiques à la première et former des fractions que nous appcMerons périodlif u es. Ainsi, la fraction suivante contient trois périodes
çn -■■- qo -*- ^ - : - -
Nous ferons observer que nous donnons ici une certaine extension à la définition ordinaire des fractions périodiques ; pour retrouver celles que l'on considère habituellement, il suffit de supposer ^o=:o. Si la fraction contient h périodes, le nombre des fractions intégrantes est égal à hn^ même pour yQ=o, car nous ne considérons pas (q„ -|- qo) comme un quotient incomplet. Si, dans les formules d'addition, nous remplaçons n par /i/i, nous obtenons
1 F/i/t-Hf» = ffp ï^'/i/i H- fp F/i/i-i ,
( (Jhn^p = Sp^hn--fp^hn-v ,
p étant au moins égal à i. En remplaçant p par (/? — \)n -hp, nous obtenons les formules
( ^hn-^-p= /n^{h-i)n+p-'- Jn—l^ih—l)n-*-pi ( Ghn+p = ffn G^fi-i)n-hp -t- fyn—X P(/t- !)«-♦-/>,
Il est préférable de se servir des formules (i) qui permettent de calculer séparément les numérateurs et les dénominateurs des réduites, de n en n (*); mais les formules (2) sont parfois utiles. En
(*) Ces formules correspondent aux formules de Simpson dans la Trigonométrie rectilignc.
4>3 LIVIE III. — L\ DIVISIIILITÊ 1 BITHMÊTiQl E.
particulier, nous ^lémonlrerons que l'on a celle propritrlr des fraclions continuer périodique^
ht
En eflel. si Ion faiip = n dans la première des formules • > • el p =z t n — I • dans la seconde des formules ' i . on oLtienl
^' h^ï n-l - •S'i-lGAn - fnS'h-i-\ -
d'où Ton déduit
En particulier, nous avons les formulo
*" in ~= Jn^ /^n "Jn-l ^' ^in-l ~ Jn-i /nr^t-l*
Gin— i'î //*A'/i-|. Gln-t = ^m~l* i'/|— /.,-i '.
249. Fractions contmues symétriques. — Nous dirons qu'unifraction continue est symétrique, lorsque tous ses quotients incomplets à égale distance des extrêmes sont égaux deux à deux. Soil donc la fraction continue symétrique
fn 1
Nous pouvons supposer 70 > <J ? car, s'il en était autrement, nous reni[)lacerions la fraction donnée par son inverse. 11 résulte iuiniédiatenient des résultats obtenus sur le ren\ersenient d'une fraction <;ontiuue (n" 210), que f^n^=fn^\ ] d'ailleurs, une fruclion ne ]>eul être dévelop|)ée que d'une seule manière en fraction continue: par conséquent si la fraction continue {fu : ^,t) est symétrique, nn a ré^alité fn\ ^= ^u^ et réciproquement.
Mais lu relation fondamentale
< U fn A'/»-l — fn-\ k'n = ( — I i"
