CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES
devient, clans celte hypothèse,
donc fn divise le second membre. Réciproquement, si deux nombres f et g sont tels que f divise {f^^'ài i), la fraction (/: g) est dêsreloppable en fraction continue symétrique. D'abord /et g sont nécessairement premiers entre eux ; convertissons (/ : g) en fraction continue, de telle sorte que le nombre n des fractions inléj;rantes soit impair ou pair, suivant que / divise (^^-|-i) ou {g- — i); dési(i:nons par g' le quotient correspondant, on aura
mais, si Ton désigne par y',, i et gn^\ les deux lermes de Tavanldernière réduite, on aura la relation (i); d'où Ton tire, par différence avec la relation précédente.
Mais/,, ou y* est premier à gu\ donc fn diviserait (gn — fn^t) qu^ esl |)lus petil (pie lui; on a donc
fi^'^-gn-X et gn-^fn-\\
la dernière égalité exprime la condition de symétrie. Ainsi, lorsque /'divise (^^-f- 1), la fraction (/ : ^)est une fraction continue symétrique contenant un nombre impair de fractions intégrantes, et le nombre des quotients incomplets q^^ q^^ ..., </« est pair; si y divise i^g' — i), la fraction continue symétrique, égale à (/ : ^), a un nombre impair de quotients incomplets, et n est pair.
Lorsqu'une fraction continue est symétrique, on peut calculer les deux dernières réduites, lorsque Ton connaît les deux dernières réduites (pii correspondent à la première moitié de son dévelop- |)einenl. Considérons d'abord une fraction symétrique paire, e\*sl -à-dire une fraction symétrique contenant un nombre pair de quotients incomplets, et supposons // = l^v^- i ; soit la fraction
yo
désignons par (/v-i I ©v-i) cl (/> I ^'v) l^s deux dernières réduites (|ui correspondent à la première moitié de la fraction continue, et par x^^t le quotient complet qui suit q^ : nous avons trouvé
.fn yv^v-t-l ~r~/v-l .
A'/» ^vJ^v-t-i-+-^v-l'
mais, d'autre part, x>,^^ est égal à {/y, :/>-<); on a donc
Puisque la fraction (/„ : g,t) est sjmélrique, on djn^i = g„^ et l'on tire gn-\ de la relation
fngn-\ —fn-\gn = (— O" = ^/v^v-1 — /v-l^v)':
on a ainsi
, . \ fn-\ ^/v^v-^/v-l^^v-l »
Les formules (i) et (•>.) résolvent la question proposée pour /i = 2v -h I , c'est-à-dire pour le cas d'une fraction continue, qui est symétrique et paire.
Si la fraction continue est symétrique et impaire, on peut l'écrire sous la forme
en ayant le soin de remplacer la fraction intégrante médiane —
par —— H ; on obtient alors, comme ci-dessus, en remplaçant
•^v+i par(/v, :/v),
250. Sur les décompositions des nombres en carrés. — Les résultats précédents conduisent à une démonstration d'un théorème
