CHAPITRE XXIV. -— LES FRACTIONS CONTINUES

imporlanl ([iie nous retrouverons dans une théorie beaucoup plus générale.

Tout dwiseiir cVune somme de deux carrés premiers entre eux est une somme de deux carrés. En effet, si/divise une somme de deux carrés premiers entre eux, f divise (n° 227) l'expression {g^ -h i). Donc, si Ton convertit (/: g) en fraction continue, on obtient une fraction symétrique paire, et l'on a

Plus particulièrement, tout diviseur premier d'une somme de deux carrés est une somme de deux carrés ; mais il ne faut pas en conclure que tout nombre premier soit une somme de deux carrés. Car aucun nombre premier p ^ 3 (mod. 4) ^(^ peut être la somme de deux carrés entiers ou fractionnaires. En effet, si l'on avait

le nombre p diviserait une somme de deux carrés et serait une somme de deux carrés entiers , ce qui est impossible puisque cette somme est congrue à r ou à 2, et non à 3, pour le module 4*

Nous donnerons une autre démonstration du théorème précédent, qui repose encore sur la théorie des fractions continues, mais où l'on ne considère pas les fractions symétriques. Plus généralement, nous démontrerons, d'après une méthode due à M. IIermite, les trois théorèmes suivants : Tout diviseur de la forme quadratique {a^ -+- k b^) est de la même forme, lorsque A*= I, a, 3.

En effet, ainsi que nous l'avons démontré (n" 227), il suffit de considérer les diviseurs premiers de la forme {x^ -f- k). Supposons donc, pour p premier, que l'on ait

x^-'r-k—-o (mod./>);

développons en fraction continue la fraction [x \ p), dans laquelle on peut supposer x <^ ^p. Les dénominateurs des réduites vont en croissant, jusqu'à p ; désignons par gn et gn^\ les deux dénominateurs consécutifs choisis de telle sorte que leurs carrés com-

456 LIVRE Iir. — LA DIVISIBILITÉ AR ITIlli ÉTIQl E.

prennent le nombre//. On a donc

OU bien

el en ajoiilanl A^^j^ de part el d'aiilre, il vient

Mais, en développant le pnMnier membre, on voit que celui-ci est un multiple de p. Cela posé , supposons d'abord ^ = i : le second membre ne peut égaler 2/?; par suite, le premier iiieiiibre, qui n'est pas nul et qui est un multiple de/>, est précisénienl épal à/>, et Ton a

(j-frn—p/n)^-'- .^r, =P'

Supposons A' = •>. ; le second membre ne peut surpasser '^/j; on a donc pour le [)ren)ier membre la valeur p ou 2/>, et par suite Tune ou Fautre des représentations

< '^nn — P/n )* -"- 2 S'}, = /> ,

Enfin, si A' = 3, le premier membre sera égal à/>, 2/> ou 3/>; la seconde liypotlièse est impossible suivant le module 4î on a donc Tune ou Taulre des décomj)ositions

( 'f\irn — p/n )* — 3 A' J — y> , ^rirn—p/nY

251. Multiplication des fractions continues symétriques* — Dans le cas particulier des fractions continues symétricpies, les formules de multiplication se simplifient à cause de/,i-i =^ ^// ; ainsi l'on a, en remplaçant n par /m, ])uis(pie la fraction reste symétrique (n"2i9),

(jî/tn - 1 = '^ (j/in G/4/1 i .