FRACTIONS CONTINUES GÉNÉRALISÉES
2o2. Algorithme d'Euler. — Cumulants. — La notation des fractions continues est souvent incommode dans la pratique; il est préférable de se servir de l'algorithme d'EuLEn ( * ), afin de généraliser la théorie et l'eniploi des fractions continues ordinaires.
Prenons des nombres quelconques, positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires.
et formons une suite commençant par 0,1, que nous représenlt*-
rons par
<>i I' Il Qu? Qi7 Qî» •••1 Q/i» •••»
(') EuLER, Solutio problematis arithmetici de inveniendo numéro qui, per datos numéros divisus, relinquat data rcsidua {Comm. Ac. Petrop.j t. VII. p. 4<>). — De usu novi algorithmi in problemate Pettiano solvendo {JVov. Comm, Petrop., l. \I, p. 28). — Gauss, Disq. Arithm.f n*» "21.
et (le telle sorte que chaque terme se calcule successivement au
moyen des deux précédents et du nombre q correspondant, par la
loi de récurrence
Q/i = g'iiQ/i-iH- Qrt-j.
On effectue le calcul de la façon suivante, de gauche à droite,
ys
qoq\-^i
qog\qt-^qt-^ ço
ÇiQt-^Qi
Qo
Qa
Si les nombres q sont entiers et positifs, Q„ désigne le numérateur de la fraction dont le développement en fraction continue donne les quotients incomplets q^, y», ..., <jr„; mais, dans le but de la simplification et de la généralisation, nous désignerons, avec EuLER, le nombre Q„ par le symbole
[70» 7l' î'î» •• •' Çn]j
et nous dirons que celte expression représente le cumulant des (/i-|-i) éléments q^y q^^ q^^ ..., qny pris dans un ordre déterminé. Avec cette notation, la loi de récurrence s'écrit
Lorsque tous les éléments sont égaux à i , le cumulant de n éléments est égal au terme Un^^ de la suite de Fibonacci. Mais, plus généralement, en laissant aux éléments du cumulant des valeurs arbitraires, on aperçoit que tous ses lermes sont dissemblables et ne peuvent se réduire entre eux ; par suite : Le nombre des termes du cumulant de n éléments quelconques est égal au terme Un^^ de la suite de Fibonacct.
Au lieu de prendre pour valeurs initiales les nombres o et 1 , nous pouvons prendre les nombres i et o, tout en conservant la même loi de formation; nous formons ainsi des nombres R dont les premières valeurs sont
1,0, Ro=o, R,= ^,, Rt= g'i^'î-Hi,
