CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES. \5g
On volt immëdiatemenl que //© n'entre pas dans les valeurs de R; d'ailleurs Ro= o, R, = ^y,. Par conséquent, les autres valeurs s'obtiennent avec les éléments du cumulant, en supprimanl^o- On a donc
Considérons enfin une suite S ayant pour valeurs initiales So= b et Si = AT ; et calculons successivement les autres termes par la loi de formation
On aperçoit, par le calcul des premiers termes, comme pour les restes obtenus dans la recherche du plus grand codiviseur de deux nombres ( n"^ 189), c|ue l'on a, pour toute valeur de /i, la formule
dans laquelle X„ et Y„ ne contiennent ni a, ni b. Si Ton fait a = i , b = o, on a donc
^« " [î'Oï 7i' • • • • 7«J)
rt si Ton fait a = o cl b = i , on a
Par conséquenl, on a pour l'expression de S„^i, calculée par cumulants, en prenant pour valeurs initiales S© et Si, deux nombres quelconques, b et <?,
D'ailleurs, en supposant arbitraires tous les éléments du cumulant, ainsi que a et 6, tous les termes de Sn^i sont dissemblables, el leur nombre est égal au terme //«^a de la suite de Fibonacci.
253. Propriétés des cumulants. — Si l'on remplace, dans la dernière formule du numéro précédent, b par i et a par Ço^ en prenant q^, q^, . • • , 7/i pour éléments du cumulant, on a
(0 [Çoy Çii ' ■ " Çn] = qolqi,qi'> 7/»] H- [^î» 73i • • •> ^il*
46o LIVRE III. — LA DIVISIBILITÉ ARITHMÉTIQUE.
D'ailleurs, nous avons trouvé plus haut la formule
('^) [70, ^1» • ••» 7/il — 7«[7o. yi» 7//- ij -^ [70' 7!? • • -Çn-t]'
Nous démontrerons d*abord cette proposition : Si Ion change tous les signes des n fHénients (Van cumulant, on multiplie celui-ci par { — i)". En effet, celte propriété a évideinmenl lieu lorsque le cumulant se compose de i,sè,3,... termes. Supposons qu'elle soit vérifiée pour les cumulants de (n — 2) et de (/? — 1) éléments; la formule (a) nous montre qu'elle est encore vérifiée pour n éléments. Donc la propriété subsiste pour un nombre (pielconque d'éléments du cumulant.
On a aussi la proposition suivante : Quelles que soient les valeurs des éléments d*un cumulant, on a la relation
(3) [go, Çn]'lqi 7«-i] -l7o 7«-i ] IVi?- • -j^"] =^(— »)""*•
En effet, lorsque les éléments du cumulant sont des nombres entiers et positifs, la fraction continue
est égale à la réduite (n° 2i2)
et nous avons trouvé la relation
mais la méthode de raisonnement (|ui nous a permis d'établir cette formule ne su{)|)ose |>as que les nombres 7,, sont des entiers, et la méthode s'applicpie à des nombres ([uelconques, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs. \\\v conséquent, la relation proposée est démontrée.
Enfin, on a encore le théorème suivant : Un cumulant ne change pas de valeur si Von renverse V ordre de ses éléments. En d'autres termes, on a l'égalité
(4) I70J 7J' • • •) 7«] = L7«' ■• •?7i> 7oJ-
CIIAPITRK X\IV. — LKS FIIACTIONS CONTINUES. 461
F2n eflel, cette propriété osl vérifiée lorsque le nombre n des éléments du cumulant est égal à i, i ou 3; supposons-la vérifiée pour les cumulants de {n — u) et de {n — i) éléments. Mais si l'on renverse, dans la formule (>), Tordre des éléments qui sont supposés arbitraires, on a
si l'on compare cette formule avec la formule (i), on en déduit immédiatement l'exactitude du tIï('orème énoncé.
!2oi. Fractions continues généralisées. — On a encore considéré les fractions continues sous la forme générale
ftu-
bn
dans laquelle les d et les h sont des nombres quelconques, positifs ou négatifs; on obtient pour les premières réduites
fi - ^5/1 '-^'2/0.
fil — ^nfn- 1 -+- fhij n-i '
>'« ^- ^hi gn-\-^ Cln gn-\
On pourrait ainsi tirer f^ t't ^,1 sous forme de déterminant; mais il n'y a aucun avantage à cette transformation. On démontre, comme |)Our les fractions continues ordinaires, que la loi déformation des deux termes des réduites est générale. La relation fondamentale devient
mais les réduites ne sont plus «les fractions irréductibles. On a encore la série alternée
fp A «I '^l'j
A'uA'i
//, ff., (t
<r , ir..
fr m *r
462 LIVBE III. — LA DIVISIBILITE ABITHMÉTIQUE
Enfin, on peut remplacer ces fractions continues, au moven de ralgorithme d*EiLEB. en posant
Exemple I. — Transfurmer en fractions continues ordinaires les fractions
On trouve pour la première, en supposant b et c>i. les quotients
incomplets
et pour la seconde, en supposant 6, < r — i) et €/> i. les quotients incomplets
a, ic — I ), I. (T — 2L I. \,d — I ».
Exemple II. — Calculer les réduites successives de la fraction continue généralisée
gn n -^ l
'1 — On trouve
go i' Exemple 111. — Calculer les réduites de la fraction continue
On trouve
^0 i' ^1 3' ^1 ;' ' gn a'»-^» — i'
Remarque I. — Lorsque Ton développe un nombre fractionnaire en fraction continue ordinaire, on prend constamment le quotient incomplet par défaut; on pourrait prendre constamment le quotient incomplet par excès, et alors toutes les fractions intégrantes auraient — i pour numérateur.
