CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES. ^(j'i

Remarque II. — On peut aussi prendre le quolienl le plus approché, soit par défaut, soit par excès, et alors les fractions intégrantes auront pour numérateur, soit -f- i, soit — i, d'après la suite des calculs.

Remarque III. — Enfin, on peut encore développer un nombre fractionnaire en prenant alternativement les quotients approchés par défaut et par excès. On obtient, dans ces différents cas, des fractions continues généralisées qui peuvent être utiles dans la solution de certaines questions (*).

25o. Développement du cumulant d'éléments égaux. — On peut se proposer de développer le cumulant

dont tous les éléments en nombre n sont égaux à a\ On trouve, pour les premiers développements,

\x, x\ = x^-+- I, [jr, 37, a:] = x'-t- ix, [a*, a:, X, x\ = 37*-+- Sa-* -4- i, [ar, 37, a:, x, x^ = x^-^ ^x^-\-Zx,

On voit ainsi que le cumulant de n éléments égaux à x est un polynôme en x de degré w, que nous désignerons par o,i(x).

11 ne contient que des termes dont les exposants sont de même parité; d'ailleurs le tableau des coefficients représente le triangle arithmétique dont les lignes sont placées parallèlement à la diagonale descendante \ . On a ainsi

(I) <?/. = ar^H- CA, ar^-ï-h CJ ja7'»-*-h Cî-ja7«-6-i-. . .;

on vérifie facilement, a posteriori, l'exactitude de cette formule, par la loi de formation

O/i+l = ^o„ -h «prt-i Cl <?o = I >

(») Gauss, Disg. arith., n- 177.

et les rgalilés obtenues pour S par

ip-i, ip-i 3*, i, i:

faisons les sommes des égalités obtenues ; nous avons ainsi les formules

T»- -J/» 'So s.

Plus particulièrement, si la suite initiale se compose de deux termes de somme 5, on a plus simplement,

Np - 1:2/»,

Ci) .->-(.-» l

Exemple /. — Calculer les si\ premières suites que l'on obtient par intercalations successives, en partant de i et i.

Exemple IL — Démontrer que les deu\ plus grands termes de la suite obtenue après p intercalations sont égaux au terme Up^\j de la suite de FiBONACCif et que leurs rangs sont donnés par l'expression