CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES
intercalons entre ces deux nombres une fraction ayant pour numérateur et pour dénominateur la somme des numérateurs et des dénominateurs des fractions données; nous obtenons une fraction que nous appellerons la niédiante des deux premières. Lorsque les dénominateurs a et c sont égaux ù i, la médiante devient la moyenne arithmétique, mais il n^en est pas de même dans le cas général (n« 84).
Ainsi, par ce procédé dit de médiation, dont on trouve de nombreux exemples dans les ouvrages d'ARcniMÈDE et des géomètres de rinde, nous formons, avec les deux fractions données, la suite
a a-ir c c
Posons ad — hc = A, nous trouvons pour les différences
hv-d h A d h-\-d A
a ar
ft -\- c a a (a -T- c ) <: a -^ c c {a -r- c)
Par conséquent, si Ton intercale entre deux fractions quelconques, à termes positifs, leur fraction médiante, on obtient une suite (i) de trois fractions à termes positifs, rangées par ordre de grandeur, et les différences de deux fractions consécutives ont le même numérateur A. Intercalons les deux médiantes dans les deux intervalles de la suile (i); répétons le même procédé sur la suite obtenue et continuons de même; nous formerons ainsi des suites de fractions à termes positifs, rangées par ordre de grandeur, et la différence de deux fractions consécutives a constamment A pour numérateur.
Réciproquement, si l'on a trois fractions consécutives
telles que leurs différences successives aient un numérateur égal au numérateur de la différence des fractions extrêmes, la fraclion (jr : x) est la médiante des deux autres. En d'autres termes, si Ton a
y b ad — bc d y ^d — bc
X a ax ex ex
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cnAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES. {fg
nous allons démontrer que la fraction médiante de ces deux fractions peut s'obtenir en remplaçant les restes (6 : a) et (d : c) par leur médiante. En effet, désignons par (B;,2 • A,/2) et (B„| : i\rt-i) les réduites qui correspondent aux (n — 2) et aux (n — i) premiers quotients incomplets, nous avons
B (hg„—n)h„ j-^ bB„. ^
ces deux fractions ont pour médiante
n -^ n \^ù -{- ci q„->- a -h c^B„ -i-h ù -{- c/ Bn-t
On a donc
<jî •. I
(Tailleurs, si les fractions à termes positifs {b : a) et (d : c) ne surpassent pas i, leur médiante est comprise entre o et 1.
258. Suites de Brocot. — Ces suites ont été considérées pour la première fois par Brocot, dans un intéressant opuscule sur les calculs de Thorlogerie ( * ). Elles proviennent de Tintercalation successive, par voie de médiation, des deux fractions - et -» dausTin-
lervalle desquelles se trouvent tous les nombres commensurables positifs. La première suite obtenue esl
en nous bornant aux nombres commensurables compris entre o et I, il nous suffit de conserver les deux premiers termes, puisque
( ' ) Calcul des rouages par approximation, nouvelle méthode, par Brocot, horloger (Paris, 1862).
les nombres commensurables inverses des premiers se Irouveraienl placés, dans les suites successives, à égale dislance de la fraction -• Avec cette reslriclion, nous formons les suites
Nous allons démontrer que tout nombre commensurable à termes positifs apparaît dans Tune des suites et, par conséquent, dans toutes les suivantes; nous avons ainsi deux problèmes à résoudre : i'* Déterminer Tindice de la suile et le rang du terme de celte suite qui contient un nombre donné (bla); 2° Déterminer la valeur d'un terme de rang donné n dans une suite [ip d'indice donné.
En d'autres lermes, supposons
il s'agit ; i" de calculer toutes les valeurs de n et de p qui correspondent à deux nombres donnés a ci b positifs et premiers entre eux ; 2® de calculer la valeur de b et celle de a qui correspondent aux valeurs données n et p de deux entiers positifs.
Nous observerons d'abord, par la loi de formation des suites, que tout terme u^ apparaît dans toutes les séries suivantes, et que, si/? augmente d'une unité, l'indice n se trouve multiplié par u; on a donc, pour tout entier positif a, la formule
