CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES. iyi

par conséquent, pour connaître les diverses places occupées par une fraction donnée, il suffit de savoir le rang qu'elle occupe dans la suite, quand elle apparaît pour la première fois, ainsi que Tindice de cette suite.

En particulier, on a uj = j\ la fraction -j- apparaît donc, au rang /îr=2/'"', dans la suite d'indice/?; on retrouve ainsi le nombre N^ = (i -+- 'iP~^) des termes de la suite ; il en résulte que Ton a toujours n < 'iP~^ .

En second lieu, on voit tout de suite que le second terme w^

d'une suite quelconque est-; par conséquent,

si, dans cette formule, nous remplaçons successivement a par les valeurs i ,a, 3, . . . (/> — i), elq parles valeurs complémentaires

(/? — 0' (/^ — '"')'! • • • ? 2, I , nous obtenons

^/» = - , wj - , . . . , //^ = -- , . . . , £/^ — -, f/*; = -.

Ainsi, on peut calculer directement la suite d'indice p, sans calculer les suites précédentes, en écrivant les inverses des nombres entiers

et en intercalant dans les intervalles successifs, par médiation, des médiantcs en nombres

G, I, 3, 5, — Ci/'-* — I}.

Pour déterminer les indices qui correspondent à la première apparition d'une fraction (bla) comj)rise entre o et i, nous la développerons en fraction continue ordinaire. Soit donc

Çn

7^72) ''"><Jn (lésignaut des entiers positifs, avec la condition

()n a donc

dans la série d'indice (yi -h i), les deux fractions qui comprennent [h la) sont. consécutives, puisqu'elles ont pour rangs /? = i et n = i; par conséquent, puisque, dans la succession des suites, toutes les fractions sont rangées par ordre de grandeur croissante, cette fraction ne pourra se trouver pour la première fois que dans une suite ultérieure, et comprise entre les deux fractions extrêmes (les inégalités précédentes. Cela posé, intercalons les médiantes entre les fractions continues

ces deu\ fractions ont les mêmes quotients incom})lets ; on peut donc faire cette opération sur les fractions j et J ; faisons q2 intercalations successives par médiation ; la fraction qui précédera la dernière des deux précédentes ( i l Çt) sera

mais (i iqt) aura pour rang 2^« dans la série d'indice (q^-h 72)'

Par conséquent, la fraction (^i H j apparaît pour la première

fois dans la série ayant pour indice (<jr, -\- q^) au rang a^»-f-i; elle apparaît donc dans la suivante au rang 2^»"*"' — 2; si Ton remplace q2 par (q^-h 1), on voit que la fraction

apparaît, pour la première fois, dans la série d'indice (q^ -{- ^72 -h i) au rang