CHAPITRE X\IV. LES FRACTIONS CONTINUES. Î

On a ensuite

dans la série d'indice (<yi 4- 72+ 0» '^*^ deux fractions qui comprennent - sont consécutives et ont pour rangs 1 et 2 ; en répétant le même raisonnement, on voit donc que

apparaît, pour la première fois, dans la suite ^ qui a pour indice {<J\ -4- 7a -4- 73 ) et au rang n = 2^«(2^« — 1) -f- i.

Il est facile de continuer Papplication de la mélhode précédente et d'en déduire ce théorème : Si /^on désigne par q^, q^i 73» • • - ^ <7„ les quotients incomplets d^ une fraction comprise entreoet 1, cette fraction apparaît y pour la première fois j sous forme irréductible, dans la suite de Ihocot dont V indice est égal à la somme des quotients incomplets, et le rang qu'elle occupe après j dans cette suite a pour expression le cumulant

l-a première partie de ce théorème a été énoncée par IIalphek, mais démontrée d'une autre manière (*). On a cette autre proposition : La suite de Brocot d^indice p se compose de toutes les fractions irréductibles , comprises entre o et i, dont la somme des quotients incomplets de leur développement en fraction continue ordinaire, ne surpasse pas r indice p de la suite.

Dans la suite p^, les termes u" de rang n impair représentent les fractions médian tes de la suite ^p-\' On a donc encore ce théorème : Les fractions irréductibles, comprises entre oet i^et dont le développement en fraction continue ordinaire donne t/ne somme de quotients incomplets égale à p, sont en nombre

(') IIalpiikn, Sur des suites de fractions analogues à la suite de Farky {Bull. Soc. math., t. V, p. 170; I*aris, 1^77).

.•-iiin Je f mm*- !#- ri* .r-n::.- r:; •.•n.ijsrfr i. me- itia ru«ii. / 7 j . i/ï -.'z/ii > j^*ii' iC j'**-fi /#-.-- .■"•'-- '"//*-: t-iî a-7zun^ i'^'Hu^-

•fU*'#(U ' rtr^ l** ir"«aj[»"ir •.-•♦.— a»iiii* *i»Ui— •r--nïi:TUiii*- rr*r-iiii-- .i*i*»r> liiri» »• t#<i«iainu«ir^ir ir- -^in^ . ■* i«i- in imniir^ uiiijii* ta

li^/fM ^.//0*yy,«jlri^* ;k j.our Dur/i'tri**-ur i : deux numenleur^ con>è- 'jfttf^. o*i 4':iix d'''/jOffjîf.4l^ur* *Of]it prirrui^rî' ecînf eux.

f',f^. IhAorttft*: À *'.'n tuou'A V/U4 os.'î Vjrmt ua ^-«a diff^realf far KAa.£Tdan5