CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES

On pcul d^ailleurs simplifier le calcul précédent en se bornant à rintercalation des fractions jusqu'à 4; on obtient les autres en retranchant les premières de i .

Pour déterminer le nombre des termes de la suite de Farey d'indice />, on observe que celte suite se compose de toutes les fractions irréductibles, ayant pour dénominateurs i, 2, 3, ...,/>: par conséquent, en tenant compte des fractions extrêmes j et {, on a ce théorème :

Le nombre des fractions de la suite de Farey de rang p est égal à I augmenté de la somme des indicateurs des p premiers nombres: c'est-à-dire à

Si Ton retranche ce nombre du nombre des termes de la suite correspondante de Brocot, on en déduit encore cette proposition: Les fractions irréductibles comprises entre o et i, dont le dénominateur surpasse /?, mais dont la somme des quotients incomplets dans le développement en fraction continue ne surpasse pas />, sont en nombre

rP • I

Enfin, on peut encore considérer des suites analogues à celles de Farey ; on peut ainsi astreindre les numérateurs à la condition de ne pas dépasser un certain nombre donné.

Exemple /. — Former la suite de Farey, d'indice 7. — On trouve

M. Stlvester vient de publier plusieurs Mémoires fort intéressants sur la Partition des nombres et sur les suites de Farev; nous y reviendrons ultérieurement.

SUR L'ÉQUATION INDÉTERMINÉE ax-.-bY^c.

260. Objet de l'analyse indéterminée du premier degré. — On sait que tout système de n équations du premier degré, à n incon-

nues, donne un système unique de solutions, lorsque le déterminant A des coefficients n*est pas nul; mais, lorsque A est nul, le système est impossible ou indéterminé. Dans ce dernier cas, le nombre des équations distinctes surpasse celui des inconnues d'un entier que Ton appelle Tordre de l'indétermination ; alors on peut se proposer de ne rechercher que les valeurs entières des inconnues. Nous supposerons, dans ce qui suit, que les coefficients des inconnues et les termes connus sont tous entiers, car s'il en était autrement il suffirait de multiplier les deux membres de chaque équation par le plus petit comulliple des dénominateurs, dans les constantes réduites à leur plus simple expression. L'Analyse indéterminée du premier degré a donc pour objet de rechercher les solutions entières d'un système indéterminé d'équations du premier degré et à constantes entières.

Considérons une ou plusieurs équations de la forme

tout codiviseur des coefficients a, b^ r, . . . divise nécessairement n, si les inconnues sont entières. Par conséquent, pour qu'un système indéterminé soit possible, il faut d'abord que, pour chaque * équation, le plus grand codiviseur des coefficients divise le terme connu; par suite, on peut supposer ces coefficients premiers entre eux. D'ailleurs, on doit observer que cette simplification ne modifie ni le signe des inconnues, ni le nombre des systèmes de solutions.

Pour abréger le langage, nous appellerons système minimum tout système de solutions entières pour lequel la somme des carrés des inconnues est la plus petite possible, et système positif tout système de solutions entières pour lequel il n'y a aucune inconnue négative.

Enfin, nous appellerons système négatif, tout système où l'une au moins des inconnues a une valeur négative.

!261. Siur la partition des nombres. — Lorsqu'il ne s'agit que d'une seule équation, on peut supposer n non négatif, car s'il en était autrement on changerait les signes des deux membres. On peut aussi supposer positifs les coefficients des inconnues, car si un