CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES
coefficient était négatif, on changerait le signe de Finconnue correspondante.
La recherche de tous les systèmes positifs de Téquation (i), dont les constantes sont entières et positives, constitue un problème qui rentre dans la Partition des nombres. Comme Euler Ta montré, ce problème revient à Tétudc du développement de
ordonné suivant les exposants croissants de ;. En effet, en supposant ç << I , on a
ta
>ff ■ ^^ > ■ > .... ^-f -T- ... I- II/,,
si Ton multiplie membre à membre, on obtient une expression de la forme
dans laquelle A„ est précisément égal au nombre des systèmes positifs de Téquation (i). Les nombres 6r, 6, c, . . . étant donnés, et premiers entre eux, le coefficient A„ est une fonction de n que nous désignerons par m[n),
!262. Résolution de Féquation à deux inconnues. — SoitTéquation
dans laquelle nous supposerons a et b positifs et premiers entre eux, et c non négatif. Le cas de a = i , ou de 6 = i , peut se traiter directement, mais il rentre dans la théorie générale comme celui de c = o. Soit donc a > 6> i . On tire de l'équation donnée
ax-^ c =— by;
si Ton remplace x par les valeurs
on forme une progression arilhmétîque de raison a, et, puisque a et b sont premiers entre eux, on trouvera une valeur x' de x et une seule, telle que o^x'<^b, pour laquelle on aura
a x' H- by — c,
y désignant un entier positif, nul ou négatif. On détermine ainsi une solution (x', y') pour laquelle x' a la plus petite valeur possible, entière et non négative.
Ainsi l'équation (1) est toujours possible et, d'une première solution quelconque (xq, y©)? O"^ déduit toutes les autres parles formules
X — Xq-^ bt, y — yQ — at ,
t désignant un entier quelconque.
Pour trouver une première solution de Téquatlon (1), on développe (a\b)cTi fraction continue; si l'on désigne par (a: P) la réduite de rang (/? — 1), qui précède immédiatement (a : 6), on a
d'où la solution
Lorsque les coefficients a et 6 ne sont pas très grands, on peut encore calculer une première solution au moyen du théorème de Fermât, si b est premier, et au moyen du théorème d'EoLER, si b est composé, avec les perfectionnements que nous avons indiqués au n® î23î2. En eflcl, on a, pour « et 6 premiers entre eux,
a'Vt^U-i (mod. b), et si l'on pose
l'expression (c — ax^) est divisible par 6.
