CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES

désignons par t la valeur de / qui correspond au minimum; on trouve

et en remplaçant la solution (j:*o>J^'o) par celle que Ton déduit des fractions continues, on a

. rt a -»- /> 3

Pour que t soit entier, il faut et il suffit que {a'^-\- b^) divise c, attendu que (rta + 6^) et {aa-\-bb) sont premiers entre eux, comme fonctions linéaires de a et de 6 dont le déterminant des coefficients est égal à lir i (n° 193). On a, dans ce cas, le système minimum unique

ac hc

Lorsque t n'est pas entier, il est compris entre deux nombres entiers consécutifs /, et /2= ^i -t- i; si l'on désigne par pi et — pa les restes correspondants, on obtient les deux systèmes

(a'-+- b^)xi — ac — 6pi, (a*-f- b^)xt = «c -h ^pj, ia^-.b^)}'i- bc-hapi\ (a»-h b^)yt^ bc — ap^.

Lorsque p, = p2= j («'+ 6^), on obtient deux systèmes minimums ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que a et b soient impairs et que c soit un multiple impair de ^(«■ + b^). Mais, si Pi et p, sont diflférents, on n'obtient qu'un système minimum qui correspond au plus petit des nombres pi ou po.

On peut représenter les systèmes de solutions, sur un plan, au moyen d'un système d'axes rectangulaires; à toute solution correspond un point de coordonnées {Xjy), On voit immédiatement que les points qui correspondent à toutes les solutions sont des points équidistants sur une droite A6 déterminée par OA = (cla) et OB = (c : b).

Les coordonnées du pied P de la perpendiculaire abaissée de l'origine 0 sur la droite AB sont positives et égales à

ac bc

Le système minimum, en nombres entiers ou fractionnaires, correspond au pied P de cette perpendiculaire. On observera d'ailleurs que la méthode

\Sj> LIVtE III. — L\ DIVISItILITE AlITHMETIQrC.

X et y sont au moins égaux à i. Pour les autres cas, considérons deux valeurs r et r dont la somme soit égale à ab: nous allons démontrer que Von a

fB(r ) ^ m( r )=■' A ou = i,

suivant //ue r est, ou n'est pas, divisible par l'un des coefficients. II suffit évidemment de supposer mon divisible par Tun des coefficients, attendu que de Tégalité

r -^ r =^ ab

il résulte que r ei H sont en même temps divisibles ou non divisibles par a ou par b.

Soit nî(r) = I ; alors on a

et la seconde équation peut s'écrire

a(T -+- x') -T- b{y -+-y ) = ab\

le nombre {x -^ x') qui n'est pas nul, divisante, est au moins égal à b\ de même (y -h- y) est au moins égal à « et le premier membre serait plus grand que le second. Au contraire, si GT(r) = o, on a y <,<>', et Ton obtient pour la seconde équation le système positif

Plus généralement, si Ton désigne par cet c' deux nombres non négatifs de somme nab^ on a

m(c) -h ny(c') = n-T- 1 ou = n,

suivant que c est ou n'est pas divisible par l'un des coefficients.

Pour déterminer si nT(/*) est o ou i, en supposant o'^r<^ab^ on peut employer un procédé direcl, en formant tous les nombres de la forme [ax 4- by)^ qui ne surpassent pas ^a6. Si Ton suppose d'abord r divisible par Tun des coefficients, on voit que les entiers r divisibles par a, compris entre o et ab^ sont en nombre (6 — i); de même les entiers r divisibles par b sont en nombre (a — i); enfin o est le seul nombre divisible à la fois par a et par 6; donc le nombre de ces valeurs de r pour lesquelles r est divisible par