CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES

l'un des coefficients est {a -\- b — i). Les autres sont en nombre

ab ^ a — 6 -H 1 ou (a — \){b — \)\

par conséquent, il y a

valeurs de r pour lesquelles Ts{r) = o. Ce théorème a été énoncé, mais démontré autrement, par Gesaro(*).

On a, par suite, la formule

Tîj(o) -\- 7ït(i) -:- xa{i) -4-. . .-h Ts{ab — \) — ab — \(a — i)(b — i);

et, plus généralement,

m(o) -•- nj(i) -h m(2) -h . . .-+- m{qab — 0 = , (Ç^^ -h a -i- b — i ).

Mais il restait à trouver la valeur de tîj(r), lorsque r est donné. Si Ton se reporte à la considération des systèmes minimums, et si l'on désigne par -f- pi le reste positif minimum et par — p2 le reste négatif maximum de la division de

(— !)"-*(«« -f- ^p)r par a» -h 6*,

on trouve, pour ces systèmes minimums,

\ ^>- at^b^ ' \ ""'^a^-^b^ '

J br-^api J br — ap*

{^''=-7i^^b^' ( •>'»= aî-t-6» •

Un seul de ces systèmes peut être positif; donc :

Théorème. — Pour que Inéquation

ax -¥■ by = r

soit possible en nombres entiers non négatijs, il faut et il suffit que l'un des nombres {ar — ^>pO, (br — ezpa) ne soit pas négatif, ou que leur produit ne soit pas positif

Les formules précédentes donnent d'ailleurs les deux systèmes minimums.

(') Cesaho, Sur dn'erses questions d'Arithmétique (Soc. roy., Liège; i88.5).

Exemple I. — Résoudre réquation

On a

a = iG, p = II, n — 3 ;

puis

/i = ~ 99. et pj =r 68 ;

d*où l'on lire le système positif

^=3, 7 = 4- Exemple II, — Le nombre total des systèmes positifs des n équations x-{-2y = n — i, 2J? -^ 3j^ = /i — 2, ..., na; -h (n -H i)^' = o

est égal à n,

265. Sommes de fractions simples. — On appelle/rac//o/i simple toute fraction dont le dénominateur est une puissance quelconque d'un nombre premier a et dont le numérateur est compris entre o et a. Considérons d'abord une somme de fractions simples dont les dénominateurs sont des puissances différentes de a; soit, par exemple, la somme

Xi Xf Xq(

dans laquelle j^i, Xa, . . . , j:» sont des entiers positifs plus petits que a, en supposant que x^ ne soit pas nul. On a

X __ a^i -^ rt JTj -^ a' 373 -H . . . -L- fl*-ï Xf^ ^

celte fraction est irréductible, puisque a ne divise pas x^ . Par conséquent, la somme de fractions simples, ayant pour dénominateurs des puissances différentes d'un même nombre premier a, est une fraction irréductible dont le dénominateur est égal au plus grand dénominateur de ces fractions.

Considérons une somme de fractions simples dont les dénominateurs sont des puissances différentes de deux nombres premiers a cl b\ en désignant par a et ^ les plus grands exposants de a et