CHAPITRE XXIV. — LES FRACTIONS CONTINUES

de b dans les dénominaleurs, cette somme sera, d'après ce qui précède,

6P ~ rt«6P

la fraction qui représente cette somme est irréductible, puisque a premier k x elk b diviserait xb^. Par suite, on a ce théorème général :

La somme de fractions simples dont les dénominateurs sont inégaux deux à deux est une fraction irréductible dont le dénominateur est égal au produit des plus hautes puissances des nombres premiers contenues dans les dénominateurs.

Réciproquement, si deux sommes de fractions simples, dans chacune desquelles les dénominateurs sont inégaux deux à deux, sont égales, elles sont identiques. En effet, les deux sommes sont des fractions irréductibles égales ; par conséquent, les dénominateurs sont égaux et composés des mêmes facteurs premiers; de plus, dans chacune des deux sommes, les plus grands exposants des puissances d^un même nombre premier sont égaux.

Soit donc

X\ x^ y\ zi

a« a«-* b? cY

si l'on multiplie les deux membres par a*~* èPcY. . . , on en déduit que {Xi — x\ ) est divisible par a; et puisque x et x' sont positifs et plus petits que a, on en conclut x^ = x\ . En supprimant les deux

premières fractions égales, on démontre de même que 0:2 = ^2 > •••? et ainsi de suite.

Si l'on étend le nom de fractions simples à des fractions dont les dénominateurs sont des puissances d'un entier A >> i, et dont les numérateurs sont plus petits que A, la proposition précédente subsiste, avec sa réciproque, pour des nombres quelconques A, B, C, . . . , positifs et premiers entre eux deux à deux.

266. Décomposition des nombres fractionnaires en sommes de fractions simples. — Considérons d'abord le cas d'un nombre

fraclionnaîre irréductible dont le dénominateur est le produit de deux entiers positifs A et B premiers entre eux, et dont le numérateur N est un entier positif ou négatif, mais non nul. L'équation

AY-t-BX = N

possède une infinité de solutions; on a donc d^ine infinité de manières la décomposition