f- 3a7* -+- 4^'-+- 5a?* H- . . . = ^i(ar

6x*H- i52:* -h agar* H- . . . = ^j(ar),

et ainsi de suite; en général,

a,ia7« -h bnX*^-^^ -4- CnX^-^^ -f- d„x'^-^^ -4- . . . = gn{^)*

On multiplie gn{^) par le développement de la puissance de (i — x) ffoxposant égal à — a;»; si l'on compare le résultat au développement de gn-^xi^)^ en tenant compte de la loi de formation,

A ^ ^r, A . a/^(q/,-4-i)(2an-+-i) O/i+i = c„ H- a,|6„ H

^*/i-t-i = dn-^anCn-^

q/i(qn-i-i)(q/i-4-2)(36r;,-n)

on a

Multiplions les deux membres par (i — ar)''»+i, il vient

(1 — jr)*»M ^,,-+-1(5:) — {\ — Xyng^{x)

= X^-^(l Xyn^x^i ^^«"^(l X/n-^i.

Remplaçons successivement n par o, 1,2, . . . . , (/i — O, et ajoutons les identités obtenues; il vient, après quelques transformatiors,

{l — Xyngn(x) — (l —X)-^-h X-^l x) — X^-^(l —xYn-^i

= X"-^(l — Xyn+^ 4- J7«- '(1 — Xyn-t-*-i -h . .,

(•) Sylvester, Sur les nombres dits de Hamilton. Congrès de Toulouse, 1887, p. i65. — Sylvester et Hammond, On Hamilton's Numbers, dans les Philosophical Transactions, vol. CLXXVIII, p. 285-3 12, et vol. CLXXIX, p. 65-71. Londres, 1887.

En égalant les coefficients de â?" dans les deux membres, on obtient ainsi la formule de M. Hammond

En multipliant les deux membres de l'identité précédente par (1 — jriei en identifiant les coefficients de j^", on trouve, après avoir posé /«= H|,-r-i. la formule donnée par M. Svlvester

/lî

ou, en se servant de la notation des combinaisons,

I — C) -4-CÎ — CJ H-....=0,

'«—1 'il—* 'il— I