V. — Sur les réseaux d'un quinconce (n*> 190, Ex. II

Quelles que soient les dimensions du quinconce, on peut en séparer tou:* les sommets par deux séries de lignes parallèles (Jig' 78), et de telle sorte que chaque sommet occupe le centre d'un carré formé par le réseau de^: deux systèmes de parallèles. Puisque tous les sommets du réseau sont des points d'ordre pair (2 ou 4X ^^ réseau peut toujours être décrit d'un seul trait (n**59); mais, conformément à l'énoncé, les lignes des deux systèmes de parallèles doivent être décrites d'un seul trait continu. Soient p ^i g les nombres des points contenus sur les côtés AT et AG du rei:angle; de plus, supposons p tl q premiers entre eux; sur la figure on a /? = 5 et y = 7.

Supposons que la figure soit repliée autour de la ligne HL, puis que l'on replie de nouveau la figure autour du côte inférieur, et ainsi de suite: on forme donc de deux en deux le même dessin et de deux en deux des images du dessin. Gela posé, en partant de A, on décrit le chemin AB en descendant de/? lignes, puis le chemin BCD, dont on remplace la partie GD par sa symétrique, de manière à descendre toujours entre les deux côtés AG et TM du rectangle. En partant du côté gauche, pour y revenir après réflexion sur le côté droit, on descend donc de iq lignes sur l'échiquier indéfini. Pour obtenir les numéros des points de brisure sur .4G ou son prolongement, on forme donc la progression arithmétique, df

raison •;►/?,

o, ip, 4/7, C/^

Mais si l'on veut obtenir les numéros correspondants sur le reclangli* primitif de la figure, on prend les restes de ces nombres par 27; ab»r«

deux cas peuvent se présenteri suivant que le reste r, toujours pair, ne dépasse pas (q — i) ou est plus grand que (q — i); dans le premier cas, on conserve le reste obtenu, car le numéro de brisure correspond à un

Fig. 78.

rectangle de même orientation que le rectangle primitif; dans le second cas, si Ton a

le point de brisure se trouve dans un rectangle symétrique du premier; alors on remplace r par son complément à (2q — i). Ainsi, dans l'exemple, on forme les nombres

les restes par 14 sont

On conserve les restes o, 6, 2, 4» et l'on remplace les autres par leurs compléments à i3; on a ainsi

5oO NOTES ET ADDITIONS.

Donc on passe successivement par les sommets

et l'on revient au point de départ après avoir passé par tous les sommet'i «Ju côte AG. 11 en est toujours ainsi lorsque p et q sont premiers entre eux, car les restes de

o» V» iPy ^P^ •••! '^9P

par ^q sont tous pairs et différents; en complétant à (^tq — i) ceuv qui surpassent (q — i), on obtient des nombres impairs tous différents. On forme donc la suite des nombres de o à (^ — i). D'ailleurs le même raisonnement s'applique sur les autres côtés du rectangle.

Lorsque les nombres/? et q ont un plus grand codiviseur </, le réseau se trouve formé de d contours continus de même longueur. En effet.

posons

p = p'd et q = q'd,

p' et q' étant premiers entre eux. Alors le terme de rang q' dans la progression arithmétique

donne o pour reste, et le contour commençant en A ne rencontre plus que q' points du côté AG ; en supprimant ce contour, on prend un autre de<^ sommets sur AG et Ton forme de même un second contour au moven d'une progression arithmétique de raison 2/7, et ainsi de suite. c. Q. F. D.

Cette démonstration est due à M. Ëlie Ferbin.